Control Systems/System Metrics
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系统指标
在设计和分析系统时，使用各种奇怪的输入函数来测试系统，或者测量各种任意的性能指标，都没有任何意义。 相反，使用一组标准的简单参考功能测试系统符合每个人的最大利益。 一旦使用参考功能对系统进行了测试，我们就可以使用许多不同的指标来确定系统性能。
值得注意的是，本章中提供的指标仅代表可用于评估给定系统的一小部分可能的指标。 随着它们的需求变得明显，这本维基教科书将在此过程中展示其他有用的指标。
标准输入
所有标准输入在时间零之前为零。 所有的标准输入都是因果的。
有许多标准输入被认为足够简单和通用，因此可以在设计系统时加以考虑。 这些输入被称为单位步骤，ramp和抛物线输入。
- 单位步长： 单位步长函数的定义是分段的：
[Unit Step Function]
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle u(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t < 0 \\ 1, & t \ge 0 \end{matrix}\right. }
- 单元步进功能是非常重要的功能，不仅在控制系统工程中，而且在信号处理，系统分析和工程的所有分支中。 如果单位阶跃函数被输入到系统中，系统的输出称为“阶跃响应”。 系统的阶跃响应是一个重要的工具，我们将在后面的章节中详细研究阶跃响应。
- 斜坡
- 根据单位阶跃函数定义单位斜坡，例如:
[Unit Ramp Function]
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle r(t) = t u(t)}
- 需要注意的是，单位阶跃函数只是单位斜率函数的微分：
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle r(t) = \int u(t)dt = tu(t)}
这个定义在我们了解拉普拉斯变换的时候会派上用场。
- 抛物线
- 单位抛物线输入类似于斜坡输入:
[Unit Parabolic Function]
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p(t) = \frac{1}{2}t^2 u(t)}
- 还要注意，单位抛物线输入等于斜坡函数的积分：
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p(t) = \int r(t)dt = \int t u(t)dt = \frac{1}{2}t^2u(t) = \frac{1}{2}t r(t)}
- 同样，当我们了解拉普拉斯变换时，这个结果将变得重要。
同样，正弦函数和指数函数被认为是基本函数，但是它们很难在系统的初始分析中使用。
Steady State
更准确地说，当“t”接近无穷大时，我们应该取极限。 但是，作为一种速记符号，我们通常会说“t等于无穷大”，并假定读者理解正在使用的快捷方式。
当将单位步长函数输入到系统时，该系统的 “稳态” 值是时间 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle t = \ infty} 处的输出值。 由于等到无穷远时才观察系统是不切实际的（如果不是完全不可能的话），因此使用近似和数学计算来确定系统的稳态值。 大多数系统响应都是“渐近”的，即响应接近某个特定值。 从查看该响应的图来看，渐近的系统通常是显而易见的。
阶跃响应
系统的阶跃响应是用来分析系统的最常用的方法，涉及到大量的术语。 当暴露于阶跃输入时，系统最初将具有不期望的输出周期，称为 “瞬态响应”。 瞬态响应发生是因为系统接近其最终输出值。 系统的稳态响应是在暂态响应结束后的响应。
系统输出达到所需值所需的时间 (通常在瞬态响应结束之前) 称为 “上升时间”。 瞬态响应结束和稳态响应开始所需的时间称为“稳定时间”。
对于系统工程师来说，尝试改善系统的阶跃响应是很常见的。 通常，希望减小瞬态响应，缩短上升和稳定时间，并使稳态接近特定期望的 “参考” 输出。
目标值
目标输出值是系统试图为给定输入获取的值。 这与稳态值不同，稳态值是系统获得的实际值。 目标值通常被称为参考值或系统的 “参考函数”。 本质上，这就是我们希望系统产生的价值。 当我们在电梯中输入“5”时，我们希望输出(电梯的最终位置)是第五层。 按下 “5” 按钮是参考输入，并且是我们要获得的期望值。 如果我们按“5”键，电梯就到了三楼，那么我们的电梯设计得很糟糕。
上升时间
上升时间 是系统响应从零的初始状态达到目标值所花费的时间。 许多关于该主题的文本将上升时间定义为从初始位置上升到目标值80%所需的时间。 这是因为有些系统永远不会上升到预期目标值的100%，因此它们将有无限的上升时间。 本书将指定对每个单独的问题使用哪种约定。 上升时间通常表示为 tr或trise。”。
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超调百分比
欠阻尼系统最初经常超过其目标值。 这种最初的激增被称为“超调值”。 超调量与系统的目标稳态值之比称为 百分比超调”。 超调百分比代表了系统的过度补偿，可能会输出危险的大输出信号，从而损坏系统。 百分比超调通常用术语PO表示。
示例：冰箱
以一台普通的家用冰箱为例。 冰箱在打开和关闭时都有循环。 当冰箱打开时，冷却液泵运行，冰箱内的温度降低。 温度降到比所需温度低得多的水平，然后泵关闭。
当泵关闭时，随着热量被吸收到冰箱中，温度再次缓慢升高。 当温度足够高时，泵就会重新启动。 因为泵冷却冰箱的时间比最初需要的要多，所以我们可以说它超出了目标值一定的指定量。
示例: 冰箱
另一个关于冰箱的例子涉及热泵首次开启时的电力需求。 泵是一种感应机械马达，当马达第一次启动时，一种特殊的反作用力--反电动势--会抵抗马达的运动，并使泵吸收更多的电力，直到马达达到其最终速度。 在泵的启动时间内，与冰箱相同的电路上的灯可能会稍微变暗，因为电从灯中抽出并进入泵中。 这种最初的电力消耗是超调的一个很好的例子
稳态误差
有时，一个系统可能永远无法达到所需的稳态值，而是会确定一个不需要的输出值。 稳态输出值与稳态参考输入值之间的差值称为系统的稳态误差。 我们将使用变量 ess 来表示系统的稳态误差。
稳定时间
在系统的初始上升时间之后，一些系统将振荡并振动一段时间，然后系统输出确定为最终值。 在初始上升时间之后达到稳定状态所需的时间称为稳定时间。 请注意，阻尼振荡系统可能永远不会完全沉降，因此我们将沉降时间定义为系统达到并保持在某个可接受范围内的时间量。 稳定时间的可接受范围通常是根据每个问题确定的，尽管常见的值是目标值的20%、10%或5%。 建立时间将表示为ts。
系统顺序
系统的阶由系统中独立的储能元件的数目定义，并且直观地由描述系统的线性微分方程式的最高阶定义。 在传递函数表示中，阶数是传递函数中的最高指数。 在适当系统中，系统阶数定义为分母多项式的阶数。 在状态空间方程中，系统阶数是系统中使用的状态变量的数量。 系统的顺序通常用 n 或 N 表示，尽管这些变量也用于其他目的。 这本书将明确区分这些变量的使用。
适当的系统
适当系统 是分母的度数大于或等于分子多项式的度数的系统。 严格适当系统是分母多项式的阶数大于（但不等于）分子多项式的阶数的系统。 双真系是分母多项式的次数等于分子多项式的次数的系统。
重要的是要注意，只有适当的系统才能在物理上实现。 换句话说，一个不恰当的系统是无法建立的。 花费大量时间设计和分析想象中的系统是没有意义的。
示例: 系统顺序
查找此系统的顺序：
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G(s) = \frac{1 + s}{1 + s + s^2}}
分母中的最高指数是s2，所以系统是2阶的。 另外，由于分母比分子高，因此该系统严格正确。
在上例中，G（s）是二阶传递函数，因为在分母中，s变量之一的指数为2。 二阶函数是最容易使用的。
系统类型
假设我们有一个过程传递函数（或函数的组合，比如一个控制器反馈到一个过程中），所有这些函数都在单位反馈回路的前向分支中。 假设整个前向支路传递函数具有下面的一般形式(称为极点-零点形式)：
[Pole-Zero Form]
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G(s) = \frac {K \prod_i (s - s_i)}{s^M \prod_j (s - s_j)}}
我们称参数M为系统类型。 请注意，增加的系统类型数对应于s = 0处的更多极数。 原点的更多极点通常会对系统产生有益的影响，但是它们会增加系统的顺序，并使物理实现变得越来越困难。 系统类型通常用N、M或m等字母表示。 由于这些变量通常被重复用于其他目的，本书将在使用它们时做出明确的区分。
现在，我们将定义几个在讨论系统类型时常用的术语。 这些新术语是位置误差、速度误差和加速度误差。 这些名称是回到物理学术语，其中加速度是速度的导数，而速度是位置的导数。 请注意，这些术语都不是用来处理移动的。
- 位置误差：位置误差，由位置误差常数表示 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_p} . 这是受单位阶跃输入激励时系统的稳态误差量。 我们定义位置误差常数如下
[Position Error Constant]
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_p = \lim_{s \to 0} G(s)}
- 其中G（s）是系统的传递函数。
- 速度误差
- 速度误差是系统受到斜坡输入激励时的稳态误差量。 我们将速度误差常数定义为:
[Velocity Error Constant]
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_v = \lim_{s \to 0} s G(s)}
- 加速度误差
- 加速度误差是用抛物线输入刺激系统时的稳态误差量。 我们将加速度误差常数定义为：
[Acceleration Error Constant]
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_a = \lim_{s \to 0} s^2 G(s)}
现在，该表将简要显示系统类型，输入类型 (阶跃，斜坡，抛物线) 和系统稳态误差之间的关系:
Unit System Input Type, M Au(t) Ar(t) Ap(t) 0 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \frac{A}{1 + K_p}} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \infty} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \infty} 1 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \frac{A}{K_v}} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \infty} 2 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \frac{A}{K_a}} > 2 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0}
Z域类型
同样地，我们可以从Z域中的下列广义传递函数中找到系统阶数：
- 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G(z) = \frac {K \prod_i (z - z_i)}{(z - 1)^M \prod_j (z - z_j)}}
其中常数m是数字系统的类型。 现在，我们将展示如何在Z域中找到各种错误常数：
[Z-Domain Error Constants]
错误常量 方程式 Kp 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_p = \lim_{z \to 1} G(z)} Kv 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_v = \lim_{z \to 1} (z - 1) G(z)} Ka 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_a = \lim_{z \to 1} (z - 1)^2 G(z)}
视觉展示
以下是各种系统指标的图像，它们作用于一个系统以响应一个步骤输入：
目标值是输入阶跃响应的值。 上升时间是波形首次达到目标值的时间。 超调量是波形超过目标值的量。 建立时间是系统稳定到特定有界区域所需的时间。 该有界区域用目标值上方和下方的两条短虚线表示。