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{{Control Systems/Page|System Modeling|Transfer Functions}}

==变换==

我们将在本书中讨论许多变换，假定读者对这些转换至少有一点先验知识。 本书的目的不是要向以前没有接触过他们的听众讲授变换的主题。 然而，我们将在这里提供一个简短的复习，让那些可能记不清主题的人重新熟悉。 如果你还不知道拉普拉斯变换或傅立叶变换是什么，强烈建议你将本页作为简单的指南，并在其他来源上查找信息。 具体来说，[[w:|Wikipedia]] 有很多关于这些主题的信息。

===变换基础===

'''变换'''是一种数学工具，它将方程从一个变量(或一组变量)转换为一个新变量(或一组新变量)。 为此，转换必须删除第一个变量 “域变量” 的所有实例，并添加一个新的 “”。 积分是变换的最佳选择，因为定积分的极限将被替换到域变量中，并且该变量的所有实例都将从方程中删除。 将域变量''a''转换为范围变量''b''的整数转换通常格式如下：

:<math>\mathcal{T}[f(a)] = F(b) = \int_C f(a)g(a,b)da</math>

其中函数''f(a)''是被变换的函数，而''g(a,b)''被称为变换的 “内核”。 通常，各种积分变换之间的唯一区别是内核。

==拉普拉斯变换==

{{Wikipedia|Laplace transform}}
{{MATLAB CMD|laplace|Control Systems/MATLAB}}

'''拉普拉斯变换''' 将时域中的方程式转换为所谓的 “S域 “ 或 '''拉普拉斯域'''，甚至 “复域”。 这些都是同一数学空间的不同名称，它们都可以在本书和其他关于这个主题的文本中互换使用。 变换只能在以下条件下应用：
#有问题的系统或信号是模拟的。
#所讨论的系统或信号是线性的。
#所讨论的系统或信号是时不变的。
#有问题的系统或信号是因果关系。

变换是这样定义的:

{{eqn|Laplace Transform}}
:<math>\begin{matrix}F(s) = \mathcal{L}[f(t)] = \int_0^\infty f(t) e^{-st}dt\end{matrix}</math>

拉普拉斯变换结果已被广泛制成表格。 有关拉普拉斯变换的更多信息，包括变换表，可在[[Control Systems/Transforms Appendix|'''附录''']]中找到。

如果我们在时域中有一个线性微分方程:

:<math>\begin{matrix}y(t) = ax(t) + bx'(t) + cx''(t)\end{matrix}</math>

在零初始条件下，我们可以将方程的拉普拉斯变换取为：

:<math>\begin{matrix}Y(s) = aX(s) + bsX(s) + cs^2X(s)\end{matrix}</math>

分开后，我们会得到：

:<math>\begin{matrix}Y(s) = X(s)[a + bs + cs^2]\end{matrix}</math>

=== 拉普拉斯逆变换 ===

{{MATLAB CMD|ilaplace|Control Systems/MATLAB}}

'''逆拉普拉斯变换'''的定义如下：
{{-}}
{{eqn|Inverse Laplace Transform}}
:<math>\begin{matrix}f(t)
        = \mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\}
        = {1 \over {2\pi i}}\int_{c-i\infty}^{c+i\infty} e^{st} F(s)\,ds\end{matrix}</math>

逆变换将函数从拉普拉斯域转换回时间域。

=== 矩阵和向量 ===

拉普拉斯变换可以直观地用于线性方程组。 假设我们有一个线性方程组：

:<math>\begin{matrix}y_1(t) = a_1x_1(t)\end{matrix}</math>
:<math>\begin{matrix}y_2(t) = a_2x_2(t)\end{matrix}</math>

我们可以将这些方程排列成矩阵形式，如图所示:

:<math>\begin{bmatrix}y_1(t) \\ y_2(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1 & 0 \\ 0 & a_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1(t) \\x_2(t)\end{bmatrix}</math>

并形式化地写下：

:<math>\mathbf{y}(t) = A\mathbf{x}(t)</math>

我们可以两边采用拉普拉斯变换：

:<math>\mathcal{L}[\mathbf{y}(t)] = \mathbf{Y}(s) = \mathcal{L}[A\mathbf{x}(t)] = A\mathcal{L}[\mathbf{x}(t)] = A\mathbf{X}(s)</math>

这与对方程组中的每个单独方程进行变换相同。

===示例：RL电路===

{{SideBox|有关电路的详细信息，请参阅：<br>'''[[Circuit Theory|电路理论]]'''}}

这里，我们将展示一阶系统的一个常见例子，一个“RL电路”。 在电感中，时间域中的电流I和电压V之间的关系表示为导数：

:<math>V(t) = L\frac{dI(t)}{dt}</math>

其中L是称为 “电感” 的特殊量，它是电感器的属性。

{{TextBox|1=

[[Image:Series-RL.png|right|framed|RL电路示例问题的电路图。 V<sub>L</sub>是电感上方的电压，是我们要查找的量。]]

假设我们有一个1阶RL系列电路。 电阻器有电阻R，电感器有电感L，电压源有输入电压V<sub>in</sub>。 我们电路的系统输出是电感上的电压，V<sub>out</sub>。 在时域中，我们有以下一阶微分方程来描述电路:

:<math>V_{out}(t) = V_{L}(t) = L\frac{dI(t)}{dt}</math>
:<math>V_{in}(t) = RI(t) + L\frac{dI(t)}{dt}</math>

然而，由于电路本质上起着分压器的作用，我们可以按照如下输入方式输出：

:<math>V_{out}(t) = \frac{L\frac{dI(t)}{dt}}{RI(t) + L \frac{dI(t)}{dt}}V_{in}(t)</math>

这是一个非常复杂的方程，除非我们使用拉普拉斯变换，否则将很难求解：

:<math>V_{out}(s) = \frac{Ls}{R + Ls}V_{in}(s)</math>

我们可以将顶部和底部除以L，并将V<sub>in</sub> 移动到另一侧:

:<math>\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{s}{\frac{R}{L} + s}</math>

通过简单的查表，我们可以解决电路输入和电路输出之间的时域关系：

:<math>\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{d}{dt}e^{\left(\frac{-Rt}{L}\right)}u(t)</math>}}

===部分分数展开===
{{SideBox|有关部分分数展开的更多信息，请参见:<br>'''[[Calculus|微积分]]'''}}
拉普拉斯变换对有广泛的表格，但我们经常有传递函数和其他方程没有表格反变换。 如果我们的方程是分数，我们通常可以利用'''部分分数展开''' (PFE) 来创建一组更简单的项，这些项将具有容易获得的逆变换。 本节将为已经学习过PFE主题的人简要介绍PFE。 由于它与拉普拉斯变换有关，因此该刷新程序将以该过程的几个示例的形式出现。 鼓励不熟悉PFE的人在 '''[[Calculus|微积分]]''' 中阅读更多有关PFE的信息。

=== 示例：二阶系统===

{{TextBox|1=如果我们在S域中有一个给定的方程：

:<math>F(s) = \frac{2s + 1}{s^2 + 3s + 2}</math>

我们可以将其扩展为几个较小的部分:

:<math>F(s) = \frac{2s + 1}{(s + 1)(s + 2)} = \frac{A}{(s + 1)} + \frac{B}{(s + 2)} = \frac{A(s+2)+B(s+1)}{(s + 1)(s + 2)}</math>

这看起来是不可能的，因为我们有一个包含3个未知数（''s''、''a''、''B''）的单一方程，但实际上''s''可以取任意值，我们可以“插入”s的值来求解''a''和''B''，而不需要其他方程。 例如，在上面的等式中，我们可以乘以分母，并取消项：

:<math>\frac{}{}(2s + 1) = A(s + 2) + B(s + 1)</math>

现在，当我们设置 ''s & rarr; -2 '时，''a'' 项消失了，我们剩下的是 “b & rarr; 3”。 当我们设定s&rarr-1“，我们可以解“A&rarr-1“”。 把这些值放回我们原来的方程式中，我们得到：

:<math>F(s) = \frac{-1}{(s + 1)} + \frac{3}{(s + 2)}</math>

请记住，由于拉普拉斯变换是线性算子，因此以下关系成立:

:<math>\mathcal{L}^{-1}[F(s)] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-1}{(s + 1)} + \frac{3}{(s + 2)}\right] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{-1}{s + 1}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[ \frac{3}{(s + 2)}\right]</math>

求这些较小项的逆变换应该比求整个函数的逆变换更容易。 部分分数展开对于求S域方程的逆来说是一个有用的，而且常常是必要的工具。}}

=== 示例: 四阶制 ===

{{TextBox|1=如果我们在S域中有一个给定的方程：

:<math>F(s)=\frac{79s^2+916s+1000}{s(s+10)^3}</math>

我们可以将其扩展为几个较小的分数，如下所示：

:<math>F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s+10)^3}+\frac{C}{(s+10)^2}+\frac{D}{s+10}</math>

:<math>F(s)=\frac{A(s+10)^3+Bs+Cs(s+10)+Ds(s+10)^2}{s(s+10)^3}</math>

:<math>\frac{}{}A(s+10)^3+Bs+Cs(s+10)+Ds(s+10)^2=79s^2+916s+1000</math>

消去项在这里还不够，我们将打开括号 <small>(分隔为多行)</small>:

:<math>As^3+30As^2+300As+1000A+Bs+</math>
:<math>Cs^2+10Cs+Ds^3+20Ds^2+100Ds</math>
:<math>=79s^2+916s+1000</math>

让我们比较一下系数：

:''A + D = 0''
:''30A + C + 20D = 79''
:''300A + B + 10C + 100D = 916''
:''1000A = 1000''

而解问题则给了我们：

:''A = 1''
:''B = 26''
:''C = 69''
:''D = -1''

我们从拉普拉斯变换表中知道以下关系成立:

:<math>\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} \to \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) </math>

我们可以将''A''、''B''、''C''和''D''的值插入到扩展中，并尝试将其转换为上面的形式。

:<math>F(s)=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s+10)^3}+\frac{C}{(s+10)^2}+\frac{D}{s+10}</math>

:<math>F(s)=A\frac{1}{s}+B\frac{1}{(s+10)^3}+C\frac{1}{(s+10)^2}+D\frac{1}{s+10}</math>

:<math>F(s)=1\frac{1}{s}+26\frac{1}{(s+10)^3}+69\frac{1}{(s+10)^2}-1\frac{1}{s+10}</math>

:<math>f(t)=u(t)+13t^2e^{-10t}+69te^{-10t}-e^{-10t}</math>}}

===示例：复根===

{{TextBox|1=给定以下传递函数:

:<math>F(s)=\frac{7s+26}{s^2-80s+1681}=\frac{As+B}{s^2-80s+1681}</math>

当分母的解是复数时， 我们使用复数表示法''A+iB''，如''3+i4''，而不是使用单个字母(例如''D'') - 对于实数:

:''As + B = 7s + 26''
:''A = 7''
:''B = 26''

我们需要将其分成两部分，如下所示（不改变其值）：

:<math>e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ </math>&rarr;<math> { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>

:<math>e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ </math>&rarr;<math> { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } </math>

让我们从分母开始(对于两个分数)：

''s<sup>2</sup> - 80s + 1681 ''的根是“ 40 + j9 ”和“ 40 - j9 ”。

:<math>(s+a)^2+\omega^2=(s-40)^2+9^2</math>&rarr;<math>\frac{As+B}{(s-40)^2+9^2}</math>

现在分子是：

:<math>\frac{As+40A-40A+B}{(s-40)^2+9^2}</math>

:<math>\frac{As-40A}{(s-40)^2+9^2}+\frac{B+40A}{(s-40)^2+9^2}</math>

:<math>A\frac{(s-40)}{(s-40)^2+9^2}+\frac{B+40A}{9}\frac{9}{(s-40)^2+9^2}</math>

拉普拉斯逆变换：

:<math>f(t)=7e^{40t}cos(9t)+34e^{40t}sin(9t)</math>
}}

=== 示例: 六阶制 ===

{{TextBox|1=给定以下传递函数：
:<math>F(s)=\frac{90s^2-1110}{s(s-3)(s^2-12s+37)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-3}+\frac{Cs+D}{s^2-12s+37}</math>

我们乘以分母，使方程式有理：

:<math>A(s-3)(s^2-12s+37)+Bs(s^2-12s+37)+(Cs+D)s(s-3)</math>
:<math>=90s^2-1110</math>

然后我们合并项:

:<math>As^3-15As^2+73As-111A+Bs^3-12Bs^2+37Bs+Cs^3-3Cs^2+Ds^2-3Ds</math>
:<math>=90s^2-1110</math>

比较系数：

:''A + B + C = 0''
:''-15A - 12B - 3C + D = 90''
:''73A + 37B - 3D = 0''
:''-111A = -1110''

现在，我们可以解出''A''、''B''、''C''和''D''：

:''A = 10''
:''B = -10''
:''C = 0''
:''D = 120''

现在为 “拟合”:

“s<sup>2</sup>-12s + 37”的词根是“6 + j”和“6 - j”

:<math>A\frac{1}{s}+B\frac{1}{s-3}+C\frac{s}{(s-6)^2+1^2}+D\frac{1}{(s-6)^2+1^2}</math>

不需要拟合''D''的分数，因为它是完整的；不需要费心拟合''C''的分数，因为''C''等于零。

:<math>10\frac{1}{s}-10\frac{1}{s-3}+0\frac{s}{(s-6)^2+1^2}+120\frac{1}{(s-6)^2+1^2}</math>

:<math>\frac{}{}f(t)=10u(t)-10e^{3t}+120e^{6t}sin(t)</math>}}

=== 终值定理 ===

'''终值定理'''允许我们在时间接近无穷大时，从S域方程确定时域方程的值。 在控制工程中，最常用的是终值定理来确定系统的稳态值。 函数极点的实部必须 <0。

{{eqn|终值定理（拉普拉斯）}}
:<math>\lim_{t \to \infty}x(t) = \lim_{s \to 0} s X(s)</math>

从我们关于系统度量的一章中，你可能会认识到系统在无限时间的价值就是系统的稳定时间。 稳态值和预期输出值之间的差我们记得是系统的稳态误差。 利用终值定理，我们可以在复S域中求出系统的稳态值和稳态误差。

===示例：终值定理===

{{TextBox|1=求以下多项式的最终值:

:<math>T(s) = \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2}</math>

我们可以应用'''终值定理'''：

:<math>\lim_{s \to \ 0} s \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2} </math>

我们获得的值为：

:<math>\lim_{s \to \ 0} s \frac{1 + s}{1 + 2s + s^2} = 0 \cdot \frac{1+0}{1+2\cdot 0+0^2}=0 \cdot 1 = 0 </math>}}

=== 初值定理 ===

与终值定理类似，'''初值定理'''允许我们从S域方程确定系统的初值（时间零点的值）。 初值定理最常用于确定系统的起始条件或“初始条件”。

{{eqn|初值定理 (拉普拉斯)}}
:<math>x(0) = \lim_{s \to \infty} s X(s)</math>

===常见变换===

我们现在将向你展示我们已经学习过的三个函数的变换： 单位台阶、单位坡道和单位抛物线。 单位阶跃函数的变换式如下：

:<math>\mathcal{L}[u(t)] = \frac{1}{s}</math>

由于单位斜率是单位步长的积分，因此我们可以将上述结果乘以''1/s''来得到单位斜率的变换：

:<math>\mathcal{L}[r(t)] = \frac{1}{s^2}</math>

再次，我们可以乘以''1/s''得到单位抛物线的变换:

:<math>\mathcal{L}[p(t)] = \frac{1}{s^3}</math>

==傅里叶变换==

{{Wikipedia|Fourier Transform}}

'''傅立叶变换'''与拉普拉斯变换非常相似。 傅里叶变换使用的假设是，任何有限时域信号都可以分解为正弦（正弦波和余弦波）信号的无限和。 在此假设下，傅里叶变换将时域信号转换为其频域表示，作为径向频率的函数， 傅立叶变换是这样定义的:

{{eqn|Fourier Transform}}
:<math>F(j\omega) = \mathcal{F}[f(t)] = \int_0^\infty f(t) e^{-j\omega t} dt</math>

{{MATLAB CMD|fourier|Control Systems/MATLAB}}

现在我们可以证明，当下列条件成立时，傅里叶变换等价于拉普拉斯变换：

:<math>\begin{matrix}s = j\omega\end{matrix}</math>

因为拉普拉斯变换和傅立叶变换是如此密切相关，所以对所有问题都使用这两种变换没有多大意义。 因此，本书将集中讨论几乎所有主题的拉普拉斯变换，除了那些直接涉及频率值的问题。 对于频率问题，使用傅里叶变换表示法使问题变得容易得多。

与拉普拉斯变换一样，傅立叶变换已被广泛列出。 除了常见变换表外，傅里叶变换的属性也可在[[Control Systems/Transforms Appendix|'''附录''']中找到。

===傅里叶逆变换===

{{MATLAB CMD|ifourier|Control Systems/MATLAB}}

''' 傅立叶逆变换 ''' 定义如下:
{{-}}
{{eqn|Inverse Fourier Transform}}
:<math>f(t)
        = \mathcal{F}^{-1}\left\{F(j\omega)\right\}
        = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty F(j\omega) e^{j\omega t} d\omega</math>

这种变换与傅里叶变换几乎相同。

==复杂平面==

[[Image:S Plane.svg|right|200px]]

利用上述等价，我们可以证明拉普拉斯变换总是等于傅立叶变换，如果变量''s''是虚数。 然而，如果“s”是实变量或复变量，则拉普拉斯变换是不同的。 因此，我们通常将''s''定义为既有实部又有虚部，因此：

:<math>\begin{matrix}s = \sigma + j\omega\end{matrix}</math>

我们可以证明 ''s = j'' & omega; 如果 & sigma;''= 0''。

由于变量''s''可以分解为两个独立的值，因此将变量“s”绘制在其自己的特殊“s平面”上通常具有一定的价值。 S平面在水平轴上绘制变量&sigma；，在垂直轴上绘制''j''&omega；的值。 此轴排列显示在右侧。

{{-}}

==欧拉公式==

微积分有一个重要的结果，被称为'''欧拉公式'''或“欧拉关系”。 此重要公式关联了 “e”，“j”，& pi;，1和0的重要值:

:<math>\begin{matrix}e^{j\pi} + 1 = 0\end{matrix}</math>

然而，这个结果是从下面的方程式得出的，设&omega；为&pi；：

{{eqn|Euler's Formula}}
:<math>\begin{matrix}e^{j\omega} = \cos(\omega) + j\sin(\omega)\end{matrix}</math>

这个公式将在本书的一些章节中广泛使用，所以现在熟悉它是很重要的。

== MATLAB ==

MATLAB symbolic工具箱包含自动计算拉普拉斯和傅立叶变换的函数。 函数'''laplace'''和函数'''fourier'''可分别用于计算输入函数的laplace和fourier变换。 例如，代码：

 t = sym('t');
 fx = 30*t^2 + 20*t;
 laplace(fx)

产生输出:

 ans =

 60/s^3+20/s^2

我们将在[[Control Systems/MATLAB|附录]]中详细讨论这些函数。

==进一步阅读==

*[[Digital Signal Processing/Continuous-Time Fourier Transform]]
*[[Signals and Systems/Aperiodic Signals]]
*[[Circuit Theory/Laplace Transform]]

{{Control Systems/Nav|System Modeling|Transfer Functions}}