“Control Systems/System Modeling”的版本间差异

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{{Control Systems/Page|System Metrics|Transforms}}


== The Control Process ==
==控制过程==


It is the job of a control engineer to analyze existing systems, and to design new systems to meet specific needs. Sometimes new systems need to be designed, but more frequently a controller unit needs to be designed to improve the performance of existing systems. When designing a system, or implementing a controller to augment an existing system, we need to follow some basic steps:
控制工程师的工作是分析现有系统，并设计新系统以满足特定需求。 有时需要设计新的系统，但更常见的是需要设计控制器单元来提高现有系统的性能。 在设计系统或实施控制器以扩充现有系统时，我们需要遵循一些基本步骤：


#Model the system mathematically
#对系统进行数学建模
#Analyze the mathematical model
#分析数学模型
#Design system/controller
#设计系统/控制器
#Implement system/controller and test
#实现系统/控制器并进行测试


The vast majority of this book is going to be focused on (2), the analysis of the mathematical systems. This chapter alone will be devoted to a discussion of the mathematical modeling of the systems.
本书的绝大多数内容将集中在 (2)，数学系统的分析上。 本章将专门讨论系统的数学建模。


== External Description ==
==外部描述==


An '''external description''' of a system relates the system input to the system output without explicitly taking into account the internal workings of the system. The external description of a system is sometimes also referred to as the '''Input-Output Description''' of the system, because it only deals with the inputs and the outputs to the system.
系统的'''外部描述'''将系统输入与系统输出相关联，而没有明确考虑系统的内部工作原理。 系统的外部描述有时也称为系统的'''输入-输出描述'''，因为它只处理系统的输入和输出。


[[Image:Time-Domain Transfer Block.svg|center]]
[[Image:Time-Domain Transfer Block.svg|center]]


If the system can be represented by a mathematical function ''h(t, r)'', where ''t'' is the time that the output is observed, and ''r'' is the time that the input is applied. We can relate the system function ''h(t, r)'' to the input ''x'' and the output ''y'' through the use of an integral:
如果系统可以用数学函数''h(t，r)''来表示，其中''t''是观察到输出的时间，而''r''是施加输入的时间。 我们可以通过使用积分将系统函数''h(t，r)''与输入 ''x'' 和输出 ''y'' 联系起来:


{{eqn|General System Description}}
{{eqn|General System Description}}
:<math>y(t) = \int_{-\infty}^\infty h(t, r)x(r)dr</math>
:<math>y(t) = \int_{-\infty}^\infty h(t, r)x(r)dr</math>


This integral form holds for all linear systems, and every linear system can be described by such an equation.
这种积分形式适用于所有线性系统，每个线性系统都可以用这样的方程来描述。


If a system is causal (i.e. an input at ''t=r'' affects system behaviour only for <math>t \ge r</math>) and there is no input of the system before ''t=0'', we can change the limits of the integration:
如果系统是因果的(即，''t=r''处的输入仅影响系统行为)并且在''t=0''之前没有系统的输入， 我们可以改变积分的限制:


:<math>y(t) = \int_0^t h(t, r)x(r)dr</math>
:<math>y(t) = \int_0^t h(t, r)x(r)dr</math>


=== Time-Invariant Systems ===
===时不变系统===


If furthermore a system is time-invariant, we can rewrite the system description equation as follows:
此外，如果一个系统是时不变的，我们可以重写系统描述方程如下：


:<math>y(t) = \int_0^t h(t - r)x(r)dr</math>
:<math>y(t) = \int_0^t h(t - r)x(r)dr</math>


This equation is known as the '''convolution integral''', and we will discuss it more in the next chapter.
这个方程被称为 '''卷积积分'''，我们将在下一章更多地讨论它。


Every Linear Time-Invariant (LTI) system can be used with the '''Laplace Transform''', a powerful tool that allows us to convert an equation from the time domain into the '''S-Domain''', where many calculations are easier. Time-variant systems cannot be used with the Laplace Transform.
每个线性时不变（LTI）系统都可以与'''拉普拉斯变换（Laplace Transform）'''一起使用，这是一个强大的工具，使我们能够将方程从时域转换到'''S域'''（其中许多计算更容易）。 时变系统不能与拉普拉斯变换一起使用。


== Internal Description ==
== 内部描述 ==


If a system is linear and lumped, it can also be described using a system of equations known as '''state-space equations'''. In state-space equations, we use the variable ''x'' to represent the internal state of the system. We then use ''u'' as the system input, and we continue to use ''y'' as the system output. We can write the state-space equations as such:
如果一个系统是线性集总的，它也可以用一个称为'''状态空间方程'''的方程组来描述。 在状态空间方程中，我们使用变量''x''表示系统的内部状态。 然后，我们使用''u''作为系统输入，我们继续使用''y''作为系统输出。 比如我们可以写状态空间方程：


:<math>x'(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)</math>
:<math>x'(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)</math>
:<math>y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)</math>
:<math>y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)</math>


We will discuss the state-space equations more when we get to the section on '''modern controls'''.
当我们讲到'''现代控制'''一节时，我们将更多地讨论状态空间方程。


== Complex Descriptions ==
== 复杂的描述 ==


Systems which are LTI and Lumped can also be described using a combination of the state-space equations, and the Laplace Transform. If we take the Laplace Transform of the state equations that we listed above, we can get a set of functions known as the '''Transfer Matrix Functions'''. We will discuss these functions in a later chapter.
LTI和集总系统也可以使用状态空间方程和拉普拉斯变换的组合来描述。 如果我们对上面列出的状态方程进行拉普拉斯变换，我们可以得到一组函数，称为'''传递矩阵函数'''。 我们将在后面的章节中讨论这些功能。


== Representations ==
== 表示 ==


To recap, we will prepare a table with the various system properties, and the available methods for describing the system:
总而言之，我们将准备一个表，其中包含各种系统属性以及用于描述系统的可用方法：


:{| class="wikitable"
:{| class="wikitable"
|-
|-
!Properties !! State-Space<br>Equations !! Laplace<br> Transform !! Transfer<br>Matrix
!属性 !! 状态空间 <br> 方程 !! 拉普拉斯 <br> 变换!! 变换 <br> 矩阵
|-
|-
|Linear, Time-Variant, Distributed || no || no || no
|Linear, Time-Variant, Distributed || no || no || no
第69行： 第69行：
|}
|}


We will discuss all these different types of system representation later in the book.
我们将在本书后面讨论所有这些不同类型的系统表示。


== Analysis ==
== 分析 ==


Once a system is modeled using one of the representations listed above, the system needs to be analyzed. We can determine the system metrics and then we can compare those metrics to our specification. If our system meets the specifications we are finished with the design process. However if the system does not meet the specifications (as is typically the case), then suitable controllers and compensators need to be designed and added to the system.
一旦使用上面列出的表示之一对系统进行建模，就需要对系统进行分析。 我们可以确定系统指标，然后将这些指标与我们的规范进行比较。 如果我们的系统符合规格，我们就完成了设计过程。 但是，如果系统不符合规范 (通常是这种情况)，则需要设计合适的控制器和补偿器并将其添加到系统中。


Once the controllers and compensators have been designed, the job isn't finished: we need to analyze the new composite system to ensure that the controllers work properly. Also, we need to ensure that the systems are stable: unstable systems can be dangerous.
一旦控制器和补偿器设计完成，工作还没有结束：我们需要分析新的复合系统，以确保控制器正常工作。 此外，我们需要确保系统是稳定的：不稳定的系统可能是危险的。


=== Frequency Domain ===
=== 频域 ===
For proposals, early stage designs, and quick turn around analyses a frequency domain model is often superior to a time domain model. Frequency domain models take disturbance PSDs (Power Spectral Densities) directly, use transfer functions directly, and produce output or residual PSDs directly. The answer is a steady-state response. Oftentimes the controller is shooting for 0 so the steady-state response is also the residual error that will be the analysis output or metric for report.
时域模型和频域模型通常优于早期设计。 频域模型直接获取扰动功率谱密度，直接利用传递函数，直接产生输出或残差功率谱密度。 答案是稳态响应。 通常情况下，控制器为0，因此稳态响应也是残余误差，将作为分析输出或报告指标。


<div align="center">
<div align="center">
{| style="width:600px; background:transparent; font-size:120%" align="center" border="5"
{| style="width:600px; background:transparent; font-size:120%" align="center" border="5"
|+ '''Table 1:  Frequency Domain Model Inputs and Outputs'''
|+ '''表1：频域模型输入和输出'''
! Input !! Model !! Output
!输入 !! 模型 !! 输出
|- style="background:transparent; color:#C00000;" align="center"
|- style="background:transparent; color:#C00000;" align="center"
| PSD  
| PSD
| Transfer Function
| Transfer Function
| PSD
| PSD
第91行： 第91行：
</div>
</div>


====Brief Overview of the Math====
====数学的简要概述====


Frequency domain modeling is a matter of determining the impulse response of a system to a random process.
频域建模是确定系统对随机过程的脉冲响应的问题。


[[Image:FreqDomainBlocks.png|thumb|center|500px|Figure 1: Frequency Domain System]]
[[Image:FreqDomainBlocks.png|thumb|center|500px|图1: 频域系统]]


:<math>S_{YY}\left(\omega\right)=G^*\left(\omega\right)G\left(\omega\right)S_{XX}= \left | G\left(\omega\right)\right \vert S_{XX}</math><ref>Sun, Jian-Qiao (2006). ''Stochastic Dynamics and Control, Volume 4''. Amsterdam: Elsevier Science. {{ISBN|0444522301}}.</ref>
:<math>S_{YY}\left(\omega\right)=G^*\left(\omega\right)G\left(\omega\right)S_{XX}= \left | G\left(\omega\right)\right \vert S_{XX}</math><ref>Sun, Jian-Qiao (2006). ''Stochastic Dynamics and Control, Volume 4''. Amsterdam: Elsevier Science. {{ISBN|0444522301}}.</ref>
where
其中
::<math>S_{XX}\left(\omega\right)</math> is the one-sided input PSD in <math>\frac{magnitude^2}{Hz}</math>
::<math>S_{XX}\left(\omega\right)</math> 单边输入PSD在 <math>\frac{magnitude^2}{Hz}</math>
::<math>G\left(\omega\right)</math> is the frequency response function of the system and
::<math>G\left(\omega\right)</math> 是系统的频率响应函数，并且
::<math>S_{YY}\left(\omega\right)</math> is the one-sided output PSD or auto power spectral density function.
::<math>S_{YY}\left(\omega\right)</math> 是单侧输出PSD或自动功率谱密度函数。


The frequency response function, <math>G\left(\omega\right)</math>, is related to the impulse response function (transfer function) by
频率响应函数， <math>G\left(\omega\right)</math>, 与脉冲响应函数(传递函数)之间的关系为


:<math>g\left(\tau\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}H\left(\omega\right)\,d\omega</math>
:<math>g\left(\tau\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}H\left(\omega\right)\,d\omega</math>


Note some texts will state that this is only valid for random processes which are stationary. Other texts suggest stationary and ergodic while still others state weakly stationary processes. Some texts do not distinguish between strictly stationary and weakly stationary. From practice, the rule of thumb is if the PSD of the input process is the same from hour to hour and day to day then the input PSD can be used and the above equation is valid.
请注意，有些教材会指出，这仅对固定的随机过程有效。 还有一些文献提出平稳和遍历，而还有一些文献则提出弱平稳过程。 有些文本不区分严格静止和弱静止。 从实践来看，经验法则是，如果输入过程的PSD从小时到小时和每天都是相同的，那么可以使用输入PSD，并且上述公式是有效的。


==== Notes ====
====注释====
<references />
<references />
[http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Frequency_Domain_Modeling See a full explanation with example at ControlTheoryPro.com]
[http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Frequency_Domain_Modeling 在ControlTheoryPro.com上查看完整的解释和示例]


== Modeling Examples ==
==建模示例==
Modeling in Control Systems is oftentimes a matter of judgement. This judgement is developed by creating models and learning from other people's models. ControlTheoryPro.com is a site with a lot of examples. Here are links to a few of them
控制系统中的建模通常是一个判断问题。 这种判断是通过创建模型和学习他人的模型而形成的。 ControlTheoryPro.com是一个有很多例子的网站。 以下是其中一些的链接


* [https://web.archive.org/web/20121214093707/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Helicopter_Hover_Example Hovering Helicopter Example]
* [https://web.archive.org/web/20121214093707/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Helicopter_Hover_Example 悬停直升机示例]
* [https://web.archive.org/web/20160325175552/wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Reaction_Cancellation_Example Reaction Torque Cancellation Example]
* [https://web.archive.org/web/20160325175552/wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Reaction_Cancellation_Example 反作用力矩抵消示例]
* [https://web.archive.org/web/20150919081842/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Category:Examples List of all examples at ControlTheoryPro.com]
* [https://web.archive.org/web/20150919081842/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Category:Examples ControlTheoryPro.com所有示例的列表]


== Manufacture ==
==制造==


Once the system has been properly designed we can prototype our system and test it. Assuming our analysis was correct and our design is good, the prototype should work as expected. Now we can move on to manufacture and distribute our completed systems.
一旦系统设计妥当，我们就可以制作系统原型并对其进行测试。 假设我们的分析是正确的，并且我们的设计是好的，那么原型应该可以按预期工作。 现在我们可以继续制造和发布我们的完整系统。


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2022年5月17日 (二) 01:32的最新版本

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控制过程

控制工程师的工作是分析现有系统，并设计新系统以满足特定需求。 有时需要设计新的系统，但更常见的是需要设计控制器单元来提高现有系统的性能。 在设计系统或实施控制器以扩充现有系统时，我们需要遵循一些基本步骤：

  1. 对系统进行数学建模
  2. 分析数学模型
  3. 设计系统/控制器
  4. 实现系统/控制器并进行测试

本书的绝大多数内容将集中在 (2)，数学系统的分析上。 本章将专门讨论系统的数学建模。

外部描述

系统的外部描述将系统输入与系统输出相关联，而没有明确考虑系统的内部工作原理。 系统的外部描述有时也称为系统的输入-输出描述，因为它只处理系统的输入和输出。

文件:Time-Domain Transfer Block.svg

如果系统可以用数学函数h(t，r)来表示，其中t是观察到输出的时间，而r是施加输入的时间。 我们可以通过使用积分将系统函数h(t，r)与输入 x 和输出 y 联系起来:


[General System Description]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = \int_{-\infty}^\infty h(t, r)x(r)dr}

这种积分形式适用于所有线性系统，每个线性系统都可以用这样的方程来描述。

如果系统是因果的(即，t=r处的输入仅影响系统行为)并且在t=0之前没有系统的输入， 我们可以改变积分的限制:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = \int_0^t h(t, r)x(r)dr}

时不变系统

此外，如果一个系统是时不变的，我们可以重写系统描述方程如下：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = \int_0^t h(t - r)x(r)dr}

这个方程被称为 卷积积分，我们将在下一章更多地讨论它。

每个线性时不变（LTI）系统都可以与拉普拉斯变换（Laplace Transform）一起使用，这是一个强大的工具，使我们能够将方程从时域转换到S域（其中许多计算更容易）。 时变系统不能与拉普拉斯变换一起使用。

内部描述

如果一个系统是线性集总的，它也可以用一个称为状态空间方程的方程组来描述。 在状态空间方程中，我们使用变量x表示系统的内部状态。 然后，我们使用u作为系统输入，我们继续使用y作为系统输出。 比如我们可以写状态空间方程：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x'(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)}

当我们讲到现代控制一节时，我们将更多地讨论状态空间方程。

复杂的描述

LTI和集总系统也可以使用状态空间方程和拉普拉斯变换的组合来描述。 如果我们对上面列出的状态方程进行拉普拉斯变换，我们可以得到一组函数，称为传递矩阵函数。 我们将在后面的章节中讨论这些功能。

表示

总而言之，我们将准备一个表，其中包含各种系统属性以及用于描述系统的可用方法：

属性 状态空间
方程		 拉普拉斯
变换		 变换
矩阵
Linear, Time-Variant, Distributed no no no
Linear, Time-Variant, Lumped yes no no
Linear, Time-Invariant, Distributed no yes no
Linear, Time-Invariant, Lumped yes yes yes

我们将在本书后面讨论所有这些不同类型的系统表示。

分析

一旦使用上面列出的表示之一对系统进行建模，就需要对系统进行分析。 我们可以确定系统指标，然后将这些指标与我们的规范进行比较。 如果我们的系统符合规格，我们就完成了设计过程。 但是，如果系统不符合规范 (通常是这种情况)，则需要设计合适的控制器和补偿器并将其添加到系统中。

一旦控制器和补偿器设计完成，工作还没有结束：我们需要分析新的复合系统，以确保控制器正常工作。 此外，我们需要确保系统是稳定的：不稳定的系统可能是危险的。

频域

时域模型和频域模型通常优于早期设计。 频域模型直接获取扰动功率谱密度，直接利用传递函数，直接产生输出或残差功率谱密度。 答案是稳态响应。 通常情况下，控制器为0，因此稳态响应也是残余误差，将作为分析输出或报告指标。

表1：频域模型输入和输出
输入 模型 输出
PSD Transfer Function PSD

数学的简要概述

频域建模是确定系统对随机过程的脉冲响应的问题。

文件:FreqDomainBlocks.png
图1: 频域系统
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle S_{YY}\left(\omega\right)=G^*\left(\omega\right)G\left(\omega\right)S_{XX}= \left | G\left(\omega\right)\right \vert S_{XX}} <ref>Sun, Jian-Qiao (2006). Stochastic Dynamics and Control, Volume 4. Amsterdam: Elsevier Science. 模板:ISBN.</ref>

其中

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle S_{XX}\left(\omega\right)} 单边输入PSD在 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{magnitude^2}{Hz}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G\left(\omega\right)} 是系统的频率响应函数，并且
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle S_{YY}\left(\omega\right)} 是单侧输出PSD或自动功率谱密度函数。

频率响应函数， 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G\left(\omega\right)} , 与脉冲响应函数(传递函数)之间的关系为

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle g\left(\tau\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}H\left(\omega\right)\,d\omega}

请注意，有些教材会指出，这仅对固定的随机过程有效。 还有一些文献提出平稳和遍历，而还有一些文献则提出弱平稳过程。 有些文本不区分严格静止和弱静止。 从实践来看，经验法则是，如果输入过程的PSD从小时到小时和每天都是相同的，那么可以使用输入PSD，并且上述公式是有效的。

注释

<references /> 在ControlTheoryPro.com上查看完整的解释和示例

建模示例

控制系统中的建模通常是一个判断问题。 这种判断是通过创建模型和学习他人的模型而形成的。 ControlTheoryPro.com是一个有很多例子的网站。 以下是其中一些的链接

制造

一旦系统设计妥当，我们就可以制作系统原型并对其进行测试。 假设我们的分析是正确的，并且我们的设计是好的，那么原型应该可以按预期工作。 现在我们可以继续制造和发布我们的完整系统。

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取自“http://wiki.foofun.cn//index.php?title=Control_Systems/System_Modeling&oldid=1233”