“Control Systems/System Modeling”的版本间差异

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:<math>S_{YY}\left(\omega\right)=G^*\left(\omega\right)G\left(\omega\right)S_{XX}= \left | G\left(\omega\right)\right \vert S_{XX}</math><ref>Sun, Jian-Qiao (2006). ''Stochastic Dynamics and Control, Volume 4''. Amsterdam: Elsevier Science. {{ISBN|0444522301}}.</ref>
:<math>S_{YY}\left(\omega\right)=G^*\left(\omega\right)G\left(\omega\right)S_{XX}= \left | G\left(\omega\right)\right \vert S_{XX}</math><ref>Sun, Jian-Qiao (2006). ''Stochastic Dynamics and Control, Volume 4''. Amsterdam: Elsevier Science. {{ISBN|0444522301}}.</ref>
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其中
::<math>S_{XX}\left(\omega\right)</math> 单边输入PSD在 <math>\frac{magnitude^2}{Hz}</math>
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::<math>G\left(\omega\right)</math> 是系统的频率响应函数,并且
::<math>G\left(\omega\right)</math> 是系统的频率响应函数,并且
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====注释====
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<references />
<references />
[http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Frequency_Domain_Modeling See a full explanation with example at ControlTheoryPro.com]
[http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Frequency_Domain_Modeling 在ControlTheoryPro.com上查看完整的解释和示例]


==建模示例==
==建模示例==

2022年5月17日 (二) 01:32的最新版本

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控制过程

控制工程师的工作是分析现有系统,并设计新系统以满足特定需求。 有时需要设计新的系统,但更常见的是需要设计控制器单元来提高现有系统的性能。 在设计系统或实施控制器以扩充现有系统时,我们需要遵循一些基本步骤:

  1. 对系统进行数学建模
  2. 分析数学模型
  3. 设计系统/控制器
  4. 实现系统/控制器并进行测试

本书的绝大多数内容将集中在 (2),数学系统的分析上。 本章将专门讨论系统的数学建模。

外部描述

系统的外部描述将系统输入与系统输出相关联,而没有明确考虑系统的内部工作原理。 系统的外部描述有时也称为系统的输入-输出描述,因为它只处理系统的输入和输出。

如果系统可以用数学函数h(t,r)来表示,其中t是观察到输出的时间,而r是施加输入的时间。 我们可以通过使用积分将系统函数h(t,r)与输入 x 和输出 y 联系起来:


[General System Description]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle y(t) = \int_{-\infty}^\infty h(t, r)x(r)dr}

这种积分形式适用于所有线性系统,每个线性系统都可以用这样的方程来描述。

如果系统是因果的(即,t=r处的输入仅影响系统行为)并且在t=0之前没有系统的输入, 我们可以改变积分的限制:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle y(t) = \int_0^t h(t, r)x(r)dr}

时不变系统

此外,如果一个系统是时不变的,我们可以重写系统描述方程如下:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle y(t) = \int_0^t h(t - r)x(r)dr}

这个方程被称为 卷积积分,我们将在下一章更多地讨论它。

每个线性时不变(LTI)系统都可以与拉普拉斯变换(Laplace Transform)一起使用,这是一个强大的工具,使我们能够将方程从时域转换到S域(其中许多计算更容易)。 时变系统不能与拉普拉斯变换一起使用。

内部描述

如果一个系统是线性集总的,它也可以用一个称为状态空间方程的方程组来描述。 在状态空间方程中,我们使用变量x表示系统的内部状态。 然后,我们使用u作为系统输入,我们继续使用y作为系统输出。 比如我们可以写状态空间方程:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle x'(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)}

当我们讲到现代控制一节时,我们将更多地讨论状态空间方程。

复杂的描述

LTI和集总系统也可以使用状态空间方程和拉普拉斯变换的组合来描述。 如果我们对上面列出的状态方程进行拉普拉斯变换,我们可以得到一组函数,称为传递矩阵函数。 我们将在后面的章节中讨论这些功能。

表示

总而言之,我们将准备一个表,其中包含各种系统属性以及用于描述系统的可用方法:

属性 状态空间
方程
拉普拉斯
变换
变换
矩阵
Linear, Time-Variant, Distributed no no no
Linear, Time-Variant, Lumped yes no no
Linear, Time-Invariant, Distributed no yes no
Linear, Time-Invariant, Lumped yes yes yes

我们将在本书后面讨论所有这些不同类型的系统表示。

分析

一旦使用上面列出的表示之一对系统进行建模,就需要对系统进行分析。 我们可以确定系统指标,然后将这些指标与我们的规范进行比较。 如果我们的系统符合规格,我们就完成了设计过程。 但是,如果系统不符合规范 (通常是这种情况),则需要设计合适的控制器和补偿器并将其添加到系统中。

一旦控制器和补偿器设计完成,工作还没有结束:我们需要分析新的复合系统,以确保控制器正常工作。 此外,我们需要确保系统是稳定的:不稳定的系统可能是危险的。

频域

时域模型和频域模型通常优于早期设计。 频域模型直接获取扰动功率谱密度,直接利用传递函数,直接产生输出或残差功率谱密度。 答案是稳态响应。 通常情况下,控制器为0,因此稳态响应也是残余误差,将作为分析输出或报告指标。

表1:频域模型输入和输出
输入 模型 输出
PSD Transfer Function PSD

数学的简要概述

频域建模是确定系统对随机过程的脉冲响应的问题。

文件:FreqDomainBlocks.png
图1: 频域系统
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle S_{YY}\left(\omega\right)=G^*\left(\omega\right)G\left(\omega\right)S_{XX}= \left | G\left(\omega\right)\right \vert S_{XX}} <ref>Sun, Jian-Qiao (2006). Stochastic Dynamics and Control, Volume 4. Amsterdam: Elsevier Science. 模板:ISBN.</ref>

其中

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle S_{XX}\left(\omega\right)} 单边输入PSD在 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle \frac{magnitude^2}{Hz}}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle G\left(\omega\right)} 是系统的频率响应函数,并且
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle S_{YY}\left(\omega\right)} 是单侧输出PSD或自动功率谱密度函数。

频率响应函数, 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle G\left(\omega\right)} , 与脉冲响应函数(传递函数)之间的关系为

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): {\displaystyle g\left(\tau\right)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}H\left(\omega\right)\,d\omega}

请注意,有些教材会指出,这仅对固定的随机过程有效。 还有一些文献提出平稳和遍历,而还有一些文献则提出弱平稳过程。 有些文本不区分严格静止和弱静止。 从实践来看,经验法则是,如果输入过程的PSD从小时到小时和每天都是相同的,那么可以使用输入PSD,并且上述公式是有效的。

注释

<references /> 在ControlTheoryPro.com上查看完整的解释和示例

建模示例

控制系统中的建模通常是一个判断问题。 这种判断是通过创建模型和学习他人的模型而形成的。 ControlTheoryPro.com是一个有很多例子的网站。 以下是其中一些的链接

制造

一旦系统设计妥当,我们就可以制作系统原型并对其进行测试。 假设我们的分析是正确的,并且我们的设计是好的,那么原型应该可以按预期工作。 现在我们可以继续制造和发布我们的完整系统。

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