“Control Systems/System Identification”的版本间差异

来自osdev
跳到导航 跳到搜索
（创建页面，内容为“{{Control Systems/Page|Introduction|Digital and Analog}} == Systems == Systems, in one sense, are devices that take input and produce an output. A system can be thought to '''operate''' on the input to produce the output. The output is related to the input by a certain relationship known as the '''system response'''. The system response usually can be modeled with a mathematical relationship between the system input and the system output. == System Properti…”）
 
 
第1行： 第1行：
{{Control Systems/Page|Introduction|Digital and Analog}}
{{Control Systems/Page|Introduction|Digital and Analog}}


== Systems ==
==系统==


Systems, in one sense, are devices that take input and produce an output. A system can be thought to '''operate''' on the input to produce the output. The output is related to the input by a certain relationship known as the '''system response'''. The system response usually can be modeled with a mathematical relationship between the system input and the system output.
从某种意义上说，系统是接受输入并产生输出的设备。 系统可以被认为是对输入进行'''操作'''，以产生输出。 输出与输入之间存在着某种关系，这种关系称为'''系统响应'''。 系统响应通常可以用系统输入和系统输出之间的数学关系来建模。


== System Properties ==
==系统属性==


Physical systems can be divided up into a number of different categories, depending on particular properties that the system exhibits. Some of these system classifications are very easy to work with and have a large theory base for analysis. Some system classifications are very complex and have still not been investigated with any degree of success. By properly identifying the properties of a system, certain analysis and design tools can be selected for use with the system.
根据系统表现出的特定属性，物理系统可以分为许多不同的类别。 其中一些系统分类非常容易使用，并且具有大量的分析理论基础。 一些系统分类非常复杂，尚未进行任何程度的成功研究。 通过正确识别系统的属性，可以选择某些分析和设计工具与系统一起使用。


The early sections of this book will focus primarily on '''linear time-invariant''' (LTI) systems. LTI systems are the easiest class of system to work with, and have a number of properties that make them ideal to study. This chapter discusses some properties of systems.
本书的早期部分将主要关注 “线性时间不变” (LTI) 系统。 LTI系统是最容易使用的一类系统，并且有许多特性使其成为理想的研究对象。 本章讨论系统的一些性质。


Later chapters in this book will look at time variant systems and nonlinear systems. Both time variant and nonlinear systems are very complex areas of current research, and both can be difficult to analyze properly. Unfortunately, most physical real-world systems are time-variant, nonlinear, or both.
本书后面几章将介绍时变系统和非线性系统。 时变系统和非线性系统都是当前研究的非常复杂的领域，并且都很难正确分析。 不幸的是，现实世界中的大多数物理系统都是时变的、非线性的，或者两者兼而有之。


An introduction to system identification and least squares techniques can be found [https://web.archive.org/web/20160325222811/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Introduction_to_System_Identification here]. An introduction to parameter identification techniques can be found [https://web.archive.org/web/20160325165445/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Introduction_to_Parameter_Identification here].
有关系统辨识和最小二乘技术的介绍可在[https://web.archive.org/web/20160325222811/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Introduction_to_System_Identification 此处]找到。 参数识别技术的介绍可以在[https://web.archive.org/web/20160325165445/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Introduction_to_Parameter_Identification 这里]找到。


== Initial Time ==
==初始时间==


The '''initial time''' of a system is the time before which there is no input. Typically, the initial time of a system is defined to be zero, which will simplify the analysis significantly. Some techniques, such as the '''Laplace Transform''' require that the initial time of the system be zero. The initial time of a system is typically denoted by t<sub>0</sub>.
系统的'''初始时间'''，是指之前没有输入的时间。 通常，系统的初始时间定义为零，这将大大简化分析。 有些技术，如'''拉普拉斯变换'''，要求系统的初始时间为零。 系统的初始时间通常由t<sub>0</sub>表示。


The value of any variable at the initial time t<sub>0</sub> will be denoted with a 0 subscript. For instance, the value of variable x at time t<sub>0</sub> is given by:
任何变量在初始时间t<sub>0</sub> 的值将以0下标表示。 例如，时间t<sub>0</sub>时变量x的值由下式给出：


:<math>x(t_0) = x_0</math>
:<math>x(t_0) = x_0</math>


Likewise, any time t with a positive subscript are points in time ''after t<sub>0</sub>'', in ascending order:
同样，任何带有正下标的时间t都是时间点，按升序排列为“t<sub>0</sub>”：


:<math>t_0 \le t_1 \le t_2 \le \cdots \le t_n</math>
:<math>t_0 \le t_1 \le t_2 \le \cdots \le t_n</math>


So t<sub>1</sub> occurs after t<sub>0</sub>, and t<sub>2</sub> occurs after both points. In a similar fashion above, a variable with a positive subscript (unless specifying an index into a vector) also occurs at that point in time:
因此t<sub>1</sub> 发生在t<sub>0</sub> 之后，而t<sub>2</sub> 发生在两个点之后。 在上面类似的方式中，具有正下标的变量(除非将索引指定为向量)也出现在该时间点：


:<math>x(t_1) = x_1</math>
:<math>x(t_1) = x_1</math>
:<math>x(t_2) = x_2</math>
:<math>x(t_2) = x_2</math>


This is valid for all points in time t.
这对时间t中的所有点都有效。


== Additivity ==
==可加性==


A system satisfies the property of '''additivity''' if a sum of inputs results in a sum of outputs. By definition: an input of <math>x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)</math> results in an output of  <math>y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)</math>. To determine whether a system is additive, use the following test:
如果输入的总和导致输出的总和，则系统满足 '''可加性''' 的属性。 根据定义：输入<math>x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)</math>的结果是输出<math>y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)</math>。 要确定系统是否为可加系统，请使用以下测试：


Given a system f that takes an input x and outputs a value y, assume two inputs (x<sub>1</sub> and x<sub>2</sub>) produce two outputs:
给定一个接受输入x并输出值y的系统f，假设两个输入（x<sub>1</sub>和x<sub>2</sub>）产生两个输出：
:<math>y_1 = f(x_1)</math>
:<math>y_1 = f(x_1)</math>
:<math>y_2 = f(x_2)</math>
:<math>y_2 = f(x_2)</math>


Now, create a composite input that is the sum of the previous inputs:
现在，创建一个复合输入，该复合输入是前面输入的总和：
:<math>x_3 = x_1 + x_2</math>
:<math>x_3 = x_1 + x_2</math>
Then the system is additive if the following equation is true:
则该系统是可加的，如果以下等式为真:


:<math>y_3 = f(x_3) = f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) = y_1 + y_2</math>
:<math>y_3 = f(x_3) = f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) = y_1 + y_2</math>


Systems that satisfy this property are called '''additive'''. Additive systems are useful because a sum of simple inputs can be used to analyze the system response to a more complex input.
满足此属性的系统称为''可加''。 可加系统是有用的，因为简单输入的总和可以用来分析系统对较复杂输入的响应。


=== Example: Sinusoids ===
=== 例: 正弦波 ===


{{TextBox|1=Given the following equation:
{{TextBox|1=给出以下等式：


:<math>y(t) = \sin(3x(t))</math>
:<math>y(t) = \sin(3x(t))</math>


Create a sum of inputs as:
将输入总和创建为：


:<math>x(t) = x_1(t) + x_2(t)</math>
:<math>x(t) = x_1(t) + x_2(t)</math>


and construct the expected sum of outputs:
并构造产出的预期总和:


:<math>y(t) = y_1(t) + y_2(t)</math>
:<math>y(t) = y_1(t) + y_2(t)</math>


Now, substituting these values into our equation, test for equality:
现在，将这些值代入我们的等式，检验等式：


:<math>y_1(t) + y_2(t) = \sin(3[x_1(t) + x_2(t)])</math>
:<math>y_1(t) + y_2(t) = \sin(3[x_1(t) + x_2(t)])</math>


The equality is not satisfied, and therefore the sine operation is not additive.}}
不满足等式，因此正弦运算不是可加运算。}}


== Homogeneity ==
==同质性==


A system satisfies the condition of '''homogeneity''' if an input scaled by a certain factor produces an output scaled by that same factor. By definition: an input of <math>ax_1</math> results in an output of <math>ay_1</math>. In other words, to see if function ''f()'' is '''homogeneous''', perform the following test:
如果按某一因素调整的输入产生按该因素调整的输出，则系统满足'''同质性'''的条件。 根据定义: <math>ax_1</math> 的输入导致 <math>ay_1</math> 的输出。 换句话说，要查看函数“f()”是否为“同质性”，请执行以下测试：


Stimulate the system ''f'' with an arbitrary input ''x'' to produce an output ''y'':
用任意输入''x''激发系统''f''，以产生输出''y'':
:<math>y = f(x)</math>
:<math>y = f(x)</math>


Now, create a second input ''x<sub>1</sub>'', scale it by a multiplicative factor ''C'' (''C'' is an arbitrary constant value), and produce a corresponding output ''y<sub>1</sub>'':
现在，创建第二个输入''x<sub>1</sub>''，用乘法因子''C''对其进行缩放（''C''是任意常量值），并生成相应的输出''y<sub>1</sub>''：


:<math>y_1 = f(Cx_1)</math>
:<math>y_1 = f(Cx_1)</math>


Now, assign x to be equal to ''x<sub>1</sub>'':
现在，指定x等于''x<sub>1</sub>''：
:<math>x_1 = x</math>
:<math>x_1 = x</math>


Then, for the system to be homogeneous, the following equation must be true:
那么，为了使系统是同质的，以下等式必须成立:
:<math>y_1 = f(Cx) = Cf(x) = Cy</math>
:<math>y_1 = f(Cx) = Cf(x) = Cy</math>


Systems that are homogeneous are useful in many applications, especially applications with gain or amplification.
均质系统在许多应用中都很有用，尤其是在增益或放大的应用中。


=== Example: Straight-Line ===
===示例：直线===


{{TextBox|1=Given the equation for a straight line:
{{TextBox|1=给定直线的方程式:


:<math>y = f(x) = 2x + 3</math>
:<math>y = f(x) = 2x + 3</math>
第99行： 第99行：
:<math>x_1 = x</math>
:<math>x_1 = x</math>


Comparing the two results, it is easy to see they are not equal:
比较这两个结果，很容易看出它们并不相等：


:<math>y_1 = C2x + 3 \ne Cy = C(2x + 3) = C2x + C3</math>
:<math>y_1 = C2x + 3 \ne Cy = C(2x + 3) = C2x + C3</math>


Therefore, the equation is not homogeneous.}}
因此，这个方程不是同质的。}}


{{TextBox|1='''Exercise:'''
{{TextBox|1='''练习: '''


Prove that additivity implies homogeneity, but that homogeneity does not imply additivity. }}
证明可加性意味着同质性，但同质性并不意味着可加性。 }}


== Linearity ==
== 线性 ==


A system is considered '''linear''' if it satisfies the conditions of Additivity and Homogeneity. In short, a system is linear if the following is true:
如果一个系统满足可加性和均匀性的条件，它就被认为是“线性的”。 简而言之，如果满足以下条件，则系统是线性的：


Take two arbitrary inputs, and produce two arbitrary outputs:
取两个任意输入，并产生两个任意输出:
:<math>y_1 = f(x_1)</math>
:<math>y_1 = f(x_1)</math>
:<math>y_2 = f(x_2)</math>
:<math>y_2 = f(x_2)</math>


Now, a linear combination of the inputs should produce a linear combination of the outputs:
现在，输入的线性组合应该产生输出的线性组合：
:<math>f(Ax_1 + Bx_2) = f(Ax_1) + f(Bx_2) = Af(x_1) + Bf(x_2) = Ay_1 + By_2</math>
:<math>f(Ax_1 + Bx_2) = f(Ax_1) + f(Bx_2) = Af(x_1) + Bf(x_2) = Ay_1 + By_2</math>


This condition of additivity and homogeneity is called '''superposition'''. A system is linear if it satisfies the condition of superposition.
这种可加性和同质性的条件称为'''叠加'''。 如果系统满足叠加的条件，则系统是线性的。


=== Example: Linear Differential Equations ===
===示例：线性微分方程===


{{TextBox|1=Is the following equation linear:
{{TextBox|1=下面的方程是线性的：


:<math>\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)</math>
:<math>\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)</math>


To determine whether this system is linear, construct a new composite input:
要确定这个系统是否是线性的，构造一个新的复合输入:


:<math>x(t) = Ax_1(t) + Bx_2(t)</math>
:<math>x(t) = Ax_1(t) + Bx_2(t)</math>


Now, create the expected composite output:
现在，创建预期的复合输出：


:<math>y(t) = Ay_1(t) + By_2(t)</math>
:<math>y(t) = Ay_1(t) + By_2(t)</math>


Substituting the two into our original equation:
将这两个代入我们原来的方程式：


:<math>\frac{d[Ay_1(t) + By_2(t)]}{dt} + [Ay_1(t) + By_2(t)] = Ax_1(t) + Bx_2(t)</math>
:<math>\frac{d[Ay_1(t) + By_2(t)]}{dt} + [Ay_1(t) + By_2(t)] = Ax_1(t) + Bx_2(t)</math>


Factor out the derivative operator, as such:
将导数运算符因子化，例如:


:<math>\frac{d}{dt}[Ay_1(t) + By_2(t)] + [Ay_1(t) + By_2(t)] = Ax_1(t) + Bx_2(t)</math>
:<math>\frac{d}{dt}[Ay_1(t) + By_2(t)] + [Ay_1(t) + By_2(t)] = Ax_1(t) + Bx_2(t)</math>


Finally, convert the various composite terms into the respective variables, to prove that this system is linear:
最后，将各种复合项转换为各自的变量，以证明该系统是线性的：


:<math>\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)</math>
:<math>\frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)</math>


For the record, derivatives and integrals are linear operators, and ordinary differential equations typically are linear equations.}}
根据记录，导数和积分是线性运算符，而常微分方程式通常是线性方程式。


== Memory ==
== 记忆性 ==


A system is said to have '''memory''' if the output from the system is dependent on past inputs (or future inputs!) to the system. A system is called '''memoryless''' if the output is only dependent on the current input. Memoryless systems are easier to work with, but systems with memory are more common in digital signal processing applications.
如果系统的输出依赖于过去的输入（或未来的输入！），则称系统具有“记忆性”到系统中。 如果一个系统的输出只依赖于当前的输入，那么这个系统就叫'''无记忆'''。 无记忆系统更易于使用，但是具有记忆的系统在数字信号处理应用中更为常见。


Systems that have memory are called '''dynamic''' systems, and systems that do not have memory are '''static''' systems.
有记忆的系统称为“动态”系统，没有记忆的系统称为“静态”系统。


== Causality ==
==因果关系==


Causality is a property that is very similar to memory. A system is called '''causal''' if it is only dependent on past and/or current inputs. A system is called '''anti-causal''' if the output of the system is dependent only on future inputs.
因果关系是一种与记忆非常相似的属性。 如果一个系统只依赖于过去和/或当前的输入，则称之为'''因果'''。 如果一个系统的输出只依赖于未来的输入，那么这个系统被称为'''反因果'''。
A system is called '''non-causal''' if the output depends on past and/or current and future inputs.
如果输出取决于过去和/或当前和将来的输入，则系统称为'''非因果关系'''。


{{info|A system design that is not causal cannot be physically implemented (to operate in a real-time). If the system can't be built, the design is generally worthless. However, there are applications of non-causal systems, e.g. when a system does not need to operate in a real-time and already has signals stored in its memory (sound and image compression).}}
{{info|非因果关系的系统设计无法实际实施（实时运行）。 如果不能建造这个系统，设计通常就没有价值。 然而，存在非因果系统的应用，例如当系统不需要实时操作并且已经具有存储在其存储器中的信号 (声音和图像压缩) 时。}}


== Time-Invariance ==
==时间不变性==


A system is called '''time-invariant''' if the system relationship between the input and output signals is not dependent on the passage of time. If the input signal <math>x(t)</math> produces an output <math>y(t)</math> then any time shifted input, <math>x(t + \delta)</math>, results in a time-shifted output <math>y(t + \delta)</math> This property can be satisfied if the transfer function of the system is not a function of time except expressed by the input and output.
如果输入和输出信号之间的系统关系不依赖于时间的流逝，则称系统为'''时不变'''。 如果输入信号 <math>x(t)</math> 产生输出 <math>y(t)</math>，则任何时移输入 <math>x(t + \delta)</math>，结果时移输出 <math>y(t + \ delta)</math> 如果系统的传递函数不是时间的函数，则可以满足此属性，除非由输入和输出表示。
If a system is time-invariant then the system block is commutative with an arbitrary delay. This facet of time-invariant systems will be discussed later.
如果系统是时不变的，那么系统块是具有任意延迟的可交换的。 我们将在后面讨论时不变系统的这一方面。


To determine if a system f is time-invariant, perform the following test:
要确定系统f是否时变，请执行以下测试:


Apply an arbitrary input x to a system and produce an arbitrary output y:
将任意输入x应用于系统，并产生任意输出y：
:<math>y(t) = f(x(t))</math>
:<math>y(t) = f(x(t))</math>


Apply a second input x<sub>1</sub> to the system, and produce a second output:
将第二个输入x<sub>1</sub> 应用于系统，并产生第二个输出:
:<math>y_1(t) = f(x_1(t))</math>
:<math>y_1(t) = f(x_1(t))</math>


Now, assign x<sub>1</sub> to be equal to the first input x, time-shifted by a given constant value &delta;:
现在，指定x<sub>1</sub>等于第一个输入x，时间偏移给定的常数值&delta;：
:<math>x_1(t) = x(t - \delta)</math>
:<math>x_1(t) = x(t - \delta)</math>


Finally, a system is time-invariant if y<sub>1</sub> is equal to y shifted by the same value &delta;:
最后，如果y<sub>1</sub>等于y移位相同的值&delta;，则系统是时不变的：
:<math>y_1(t) = y(t - \delta)</math>
:<math>y_1(t) = y(t - \delta)</math>


== LTI Systems ==
== LTI系统 ==


A system is considered to be a '''Linear Time-Invariant''' (LTI) system if it satisfies the requirements of time-invariance and linearity. LTI systems are one of the most important types of systems, and they will be considered almost exclusively in the beginning chapters of this book.
如果一个系统满足时间不变性和线性的要求，它就被认为是'''线性时不变'''（LTI）系统。 LTI系统是最重要的系统类型之一，在本书的开头章节中几乎只讨论它们。


Systems which are not LTI are more common in practice, but are much more difficult to analyze.
不是LTI的系统在实践中更常见，但分析起来要困难得多。


== Lumpedness ==
==集总==


A system is said to be '''lumped''' if one of the two following conditions are satisfied:
如果满足以下两个条件之一，则称一个系统是“集总”的：
#There are a finite number of states that the system can be in.
#系统可以处于有限数量的状态。
#There are a finite number of state variables.
#状态变量的数量是有限的。


The concept of "states" and "state variables" are relatively advanced, and they will be discussed in more detail in the discussion about '''modern controls'''.
“状态”和“状态变量”的概念相对较高级，将在'''现代控制'''的讨论中更详细地讨论它们。


Systems which are not lumped are called '''distributed'''. A simple example of a distributed system is a system with delay, that is, <math>A(s)y(t)=B(s)u(t-\tau)</math>, which has an infinite number of state variables (Here we use <math>s</math> to denote the Laplace variable). However, although distributed systems are quite common, they are very difficult to analyze in practice, and there are few tools available to work with such systems. Fortunately, in most cases, a delay can be sufficiently modeled with the Pade approximation. This book will not discuss distributed systems much.
未集中的系统称为 “分布式”。 分布式系统的一个简单例子是具有延迟的系统，即具有无限多个状态变量的 <math>A(s)y(t)=B(s)u(t-\tau)</math> (在这里，我们使用<math>s</math>表示Laplace变量)。 但是，尽管分布式系统相当普遍，但它们在实践中很难进行分析，并且几乎没有可用的工具来使用此类系统。 幸运的是，在大多数情况下，可以用Pade近似对延迟进行充分建模。 本书不会过多地讨论分布式系统。


== Relaxed ==
== 松弛性 ==


A system is said to be '''relaxed''' if the system is causal and at the initial time t<sub>0
如果系统是因果系统，并且在初始时间t<sub>0</sub>系统的输出为零，即系统中没有存储能量，则称系统为'''松弛的'''。 输出由此后施加的输入单独且唯一地激发。
</sub> the output of the system is zero, i.e., there is no stored energy in the system. The output is excited solely and uniquely by input applied thereafter.


:<math>y(t_0) = f(x(t_0)) = 0</math>
:<math>y(t_0) = f(x(t_0)) = 0</math>


In terms of differential equations, a relaxed system is said to have "zero initial states". Systems without an initial state are easier to work with, but systems that are not relaxed can frequently be modified to approximate relaxed systems.
就微分方程而言，松弛系统被称为具有 “零初始状态”。 没有初始状态的系统更容易处理，但没有松弛的系统可以经常修改为近似松弛的系统。


== Stability ==
==稳定性==


{{SideBox|Control Systems engineers will frequently say that an unstable system has "exploded". Some physical systems actually can rupture or explode when they go unstable.}}
{{SideBox|控制系统工程师经常会说，一个不稳定的系统已经“爆炸”了。 一些物理系统实际上会在不稳定时破裂或爆炸。}}


'''Stability''' is a very important concept in systems, but it is also one of the hardest function properties to prove. There are several different criteria for system stability, but the most common requirement is that the system must produce a finite output when subjected to a finite input. For instance, if 5 volts is applied to the input terminals of a given circuit, it would be best if the circuit output didn't approach infinity, and the circuit itself didn't melt or explode. This type of stability is often known as "'''Bounded Input, Bounded Output'''" stability, or '''BIBO'''.
'''稳定性'''是系统中一个非常重要的概念，但它也是最难证明的函数性质之一。 系统稳定性有几个不同的标准，但最常见的要求是，当系统受到有限输入时，系统必须产生有限输出。 例如，如果将5伏电压施加到给定电路的输入端，则最好使电路输出不接近无穷大，并且电路本身不会熔化或爆炸。 这种类型的稳定性通常被称为“'''有界输入、有界输出'''”稳定性或'''BIBO'''。


There are a number of other types of stability, most of which are based on the concept of BIBO stability. Because stability is such an important and complicated topic, an entire section of this text is devoted to its study.
还有许多其他类型的稳定，其中大多数是基于BIBO稳定的概念。 由于稳定性是一个如此重要而复杂的主题，因此本文的整个部分都专门研究它。


== Inputs and Outputs ==
== 输入和输出 ==


Systems can also be categorized by the number of inputs and the number of outputs the system has. Consider a television as a system, for instance. The system has two inputs: the power wire and the signal cable. It has one output: the video display. A system with one input and one output is called '''single-input, single output''', or SISO. a system with multiple inputs and multiple outputs is called '''multi-input, multi-output''', or MIMO.
系统还可以根据系统拥有的输入数量和输出数量进行分类。 例如，将电视视为一个系统。 系统有两个输入：电源线和信号电缆。 它只有一个输出：视频显示。 一个输入一个输出的系统称为 '''单输入、单输出'''，或SISO。 具有多个输入和多个输出的系统称为'''多输入、多输出'''或MIMO。


These systems will be discussed in more detail later.
这些系统将在后面更详细地讨论。


{{TextBox|1='''Exercise:'''
{{TextBox|1='''练习: '''


Based on the definitions of SISO and MIMO, above, determine what the acronyms SIMO and MISO mean.}}
根据上述SISO和MIMO的定义，确定首字母缩写词SIMO和MISO的含义。}}


{{Control Systems/Nav|Introduction|Digital and Analog}}
{{Control Systems/Nav|Introduction|Digital and Analog}}

2022年5月5日 (四) 03:19的最新版本

The Wikibook of:

Control Systems

and Control Engineering

Table of Contents All Versions PDF Version
← Introduction Digital and Analog → Glossary

{{#invoke:TScope|shiftLeft|BookCat/core|1 |namespace = |pagename =Control Systems/System Identification |fullpagename=Control Systems/System Identification |sortkey = }}

系统

从某种意义上说，系统是接受输入并产生输出的设备。 系统可以被认为是对输入进行操作，以产生输出。 输出与输入之间存在着某种关系，这种关系称为系统响应。 系统响应通常可以用系统输入和系统输出之间的数学关系来建模。

系统属性

根据系统表现出的特定属性，物理系统可以分为许多不同的类别。 其中一些系统分类非常容易使用，并且具有大量的分析理论基础。 一些系统分类非常复杂，尚未进行任何程度的成功研究。 通过正确识别系统的属性，可以选择某些分析和设计工具与系统一起使用。

本书的早期部分将主要关注 “线性时间不变” (LTI) 系统。 LTI系统是最容易使用的一类系统，并且有许多特性使其成为理想的研究对象。 本章讨论系统的一些性质。

本书后面几章将介绍时变系统和非线性系统。 时变系统和非线性系统都是当前研究的非常复杂的领域，并且都很难正确分析。 不幸的是，现实世界中的大多数物理系统都是时变的、非线性的，或者两者兼而有之。

有关系统辨识和最小二乘技术的介绍可在此处找到。 参数识别技术的介绍可以在这里找到。

初始时间

系统的初始时间，是指之前没有输入的时间。 通常，系统的初始时间定义为零，这将大大简化分析。 有些技术，如拉普拉斯变换，要求系统的初始时间为零。 系统的初始时间通常由t0表示。

任何变量在初始时间t0 的值将以0下标表示。 例如，时间t0时变量x的值由下式给出：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t_0) = x_0}

同样，任何带有正下标的时间t都是时间点，按升序排列为“t0”：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle t_0 \le t_1 \le t_2 \le \cdots \le t_n}

因此t1 发生在t0 之后，而t2 发生在两个点之后。 在上面类似的方式中，具有正下标的变量(除非将索引指定为向量)也出现在该时间点：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t_1) = x_1}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t_2) = x_2}

这对时间t中的所有点都有效。

可加性

如果输入的总和导致输出的总和，则系统满足 可加性 的属性。 根据定义：输入解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_3(t) = x_1(t) + x_2(t)} 的结果是输出解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_3(t) = y_1(t) + y_2(t)} 。 要确定系统是否为可加系统，请使用以下测试：

给定一个接受输入x并输出值y的系统f，假设两个输入（x1和x2）产生两个输出：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(x_1)}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_2 = f(x_2)}

现在，创建一个复合输入，该复合输入是前面输入的总和：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_3 = x_1 + x_2}

则该系统是可加的，如果以下等式为真:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_3 = f(x_3) = f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2) = y_1 + y_2}

满足此属性的系统称为可加。 可加系统是有用的，因为简单输入的总和可以用来分析系统对较复杂输入的响应。

例: 正弦波

给出以下等式：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = \sin(3x(t))}

将输入总和创建为：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t) = x_1(t) + x_2(t)}

并构造产出的预期总和:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = y_1(t) + y_2(t)}

现在，将这些值代入我们的等式，检验等式：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1(t) + y_2(t) = \sin(3[x_1(t) + x_2(t)])}

不满足等式，因此正弦运算不是可加运算。

同质性

如果按某一因素调整的输入产生按该因素调整的输出，则系统满足同质性的条件。 根据定义: 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle ax_1} 的输入导致 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle ay_1} 的输出。 换句话说，要查看函数“f()”是否为“同质性”，请执行以下测试：

用任意输入x激发系统f，以产生输出y:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y = f(x)}

现在，创建第二个输入x1，用乘法因子C对其进行缩放（C是任意常量值），并生成相应的输出y1：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(Cx_1)}

现在，指定x等于x1：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_1 = x}

那么，为了使系统是同质的，以下等式必须成立:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(Cx) = Cf(x) = Cy}

均质系统在许多应用中都很有用，尤其是在增益或放大的应用中。

示例：直线

给定直线的方程式:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y = f(x) = 2x + 3}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(Cx_1) = 2(Cx_1) + 3 = C2x_1 + 3}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_1 = x}

比较这两个结果，很容易看出它们并不相等：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = C2x + 3 \ne Cy = C(2x + 3) = C2x + C3}

因此，这个方程不是同质的。

练习:

证明可加性意味着同质性，但同质性并不意味着可加性。

线性

如果一个系统满足可加性和均匀性的条件，它就被认为是“线性的”。 简而言之，如果满足以下条件，则系统是线性的：

取两个任意输入，并产生两个任意输出:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1 = f(x_1)}
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_2 = f(x_2)}

现在，输入的线性组合应该产生输出的线性组合：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle f(Ax_1 + Bx_2) = f(Ax_1) + f(Bx_2) = Af(x_1) + Bf(x_2) = Ay_1 + By_2}

这种可加性和同质性的条件称为叠加。 如果系统满足叠加的条件，则系统是线性的。

示例：线性微分方程

{{TextBox|1=下面的方程是线性的：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)}

要确定这个系统是否是线性的，构造一个新的复合输入:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t) = Ax_1(t) + Bx_2(t)}

现在，创建预期的复合输出：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = Ay_1(t) + By_2(t)}

将这两个代入我们原来的方程式：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{d[Ay_1(t) + By_2(t)]}{dt} + [Ay_1(t) + By_2(t)] = Ax_1(t) + Bx_2(t)}

将导数运算符因子化，例如:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{d}{dt}[Ay_1(t) + By_2(t)] + [Ay_1(t) + By_2(t)] = Ax_1(t) + Bx_2(t)}

最后，将各种复合项转换为各自的变量，以证明该系统是线性的：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)}

根据记录，导数和积分是线性运算符，而常微分方程式通常是线性方程式。

记忆性

如果系统的输出依赖于过去的输入（或未来的输入！），则称系统具有“记忆性”到系统中。 如果一个系统的输出只依赖于当前的输入，那么这个系统就叫无记忆。 无记忆系统更易于使用，但是具有记忆的系统在数字信号处理应用中更为常见。

有记忆的系统称为“动态”系统，没有记忆的系统称为“静态”系统。

因果关系

因果关系是一种与记忆非常相似的属性。 如果一个系统只依赖于过去和/或当前的输入，则称之为因果。 如果一个系统的输出只依赖于未来的输入，那么这个系统被称为反因果。 如果输出取决于过去和/或当前和将来的输入，则系统称为非因果关系。

{{#invoke:Message box|mbox}}

时间不变性

如果输入和输出信号之间的系统关系不依赖于时间的流逝，则称系统为时不变。 如果输入信号 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t)} 产生输出 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t)} ，则任何时移输入 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t + \delta)} ，结果时移输出 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t + \ delta)} 如果系统的传递函数不是时间的函数，则可以满足此属性，除非由输入和输出表示。 如果系统是时不变的，那么系统块是具有任意延迟的可交换的。 我们将在后面讨论时不变系统的这一方面。

要确定系统f是否时变，请执行以下测试:

将任意输入x应用于系统，并产生任意输出y：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t) = f(x(t))}

将第二个输入x1 应用于系统，并产生第二个输出:

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1(t) = f(x_1(t))}

现在，指定x1等于第一个输入x，时间偏移给定的常数值δ：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x_1(t) = x(t - \delta)}

最后，如果y1等于y移位相同的值δ，则系统是时不变的：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y_1(t) = y(t - \delta)}

LTI系统

如果一个系统满足时间不变性和线性的要求，它就被认为是线性时不变（LTI）系统。 LTI系统是最重要的系统类型之一，在本书的开头章节中几乎只讨论它们。

不是LTI的系统在实践中更常见，但分析起来要困难得多。

集总

如果满足以下两个条件之一，则称一个系统是“集总”的：

  1. 系统可以处于有限数量的状态。
  2. 状态变量的数量是有限的。

“状态”和“状态变量”的概念相对较高级，将在现代控制的讨论中更详细地讨论它们。

未集中的系统称为 “分布式”。 分布式系统的一个简单例子是具有延迟的系统，即具有无限多个状态变量的 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle A(s)y(t)=B(s)u(t-\tau)} (在这里，我们使用解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle s} 表示Laplace变量)。 但是，尽管分布式系统相当普遍，但它们在实践中很难进行分析，并且几乎没有可用的工具来使用此类系统。 幸运的是，在大多数情况下，可以用Pade近似对延迟进行充分建模。 本书不会过多地讨论分布式系统。

松弛性

如果系统是因果系统，并且在初始时间t0系统的输出为零，即系统中没有存储能量，则称系统为松弛的。 输出由此后施加的输入单独且唯一地激发。

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle y(t_0) = f(x(t_0)) = 0}

就微分方程而言，松弛系统被称为具有 “零初始状态”。 没有初始状态的系统更容易处理，但没有松弛的系统可以经常修改为近似松弛的系统。

稳定性

控制系统工程师经常会说，一个不稳定的系统已经“爆炸”了。 一些物理系统实际上会在不稳定时破裂或爆炸。

稳定性是系统中一个非常重要的概念，但它也是最难证明的函数性质之一。 系统稳定性有几个不同的标准，但最常见的要求是，当系统受到有限输入时，系统必须产生有限输出。 例如，如果将5伏电压施加到给定电路的输入端，则最好使电路输出不接近无穷大，并且电路本身不会熔化或爆炸。 这种类型的稳定性通常被称为“有界输入、有界输出”稳定性或BIBO。

还有许多其他类型的稳定，其中大多数是基于BIBO稳定的概念。 由于稳定性是一个如此重要而复杂的主题，因此本文的整个部分都专门研究它。

输入和输出

系统还可以根据系统拥有的输入数量和输出数量进行分类。 例如，将电视视为一个系统。 系统有两个输入：电源线和信号电缆。 它只有一个输出：视频显示。 一个输入一个输出的系统称为 单输入、单输出，或SISO。 具有多个输入和多个输出的系统称为多输入、多输出或MIMO。

这些系统将在后面更详细地讨论。

练习:

根据上述SISO和MIMO的定义，确定首字母缩写词SIMO和MISO的含义。

← Introduction

Control Systems

Digital and Analog →

取自“http://wiki.foofun.cn//index.php?title=Control_Systems/System_Identification&oldid=1226”