“Control Systems/System Metrics”的版本间差异

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（创建页面，内容为“{{Control Systems/Page|Digital and Analog|System Modeling}} == System Metrics == When a system is being designed and analyzed, it doesn't make any sense to test the system with all manner of strange input functions, or to measure all sorts of arbitrary performance metrics. Instead, it is in everybody's best interest to test the system with a set of standard, simple reference functions. Once the system is tested with the reference functions, there are a number…”）
 
 
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{{Control Systems/Page|Digital and Analog|System Modeling}}
{{Control Systems/Page|Digital and Analog|System Modeling}}


== System Metrics ==
== 系统指标 ==


When a system is being designed and analyzed, it doesn't make any sense to test the system with all manner of strange input functions, or to measure all sorts of arbitrary performance metrics. Instead, it is in everybody's best interest to test the system with a set of standard, simple reference functions. Once the system is tested with the reference functions, there are a number of different metrics that we can use to determine the system performance.
在设计和分析系统时，使用各种奇怪的输入函数来测试系统，或者测量各种任意的性能指标，都没有任何意义。 相反，使用一组标准的简单参考功能测试系统符合每个人的最大利益。 一旦使用参考功能对系统进行了测试，我们就可以使用许多不同的指标来确定系统性能。


It is worth noting that the metrics presented in this chapter represent only a small number of possible metrics that can be used to evaluate a given system. This wikibook will present other useful metrics along the way, as their need becomes apparent.
值得注意的是，本章中提供的指标仅代表可用于评估给定系统的一小部分可能的指标。 随着它们的需求变得明显，这本维基教科书将在此过程中展示其他有用的指标。


== Standard Inputs ==
==标准输入==


{{SideBox|'''Note''':<br> All of the standard inputs are zero before time zero. All the standard inputs are '''causal'''.}}
{{SideBox|'''注意'''‘：<br> 所有标准输入在时间零之前为零。 所有的标准输入都是'''因果的'''。}}


There are a number of standard inputs that are considered simple enough and universal enough that they are considered when designing a system. These inputs are known as a '''unit step''', a '''ramp''', and a '''parabolic''' input.
有许多标准输入被认为足够简单和通用，因此可以在设计系统时加以考虑。 这些输入被称为'''单位步骤'''，'''ramp'''和'''抛物线'''输入。


{{TextBox|1=
{{TextBox|1=
;Unit Step: A unit step function is defined piecewise as such:
;单位步长： 单位步长函数的定义是分段的：


{{eqn|Unit Step Function}}
{{eqn|Unit Step Function}}
::<math>u(t) = \left\{
::<math>u(t) = \left\{
\begin{matrix}  
\begin{matrix}
   0, & t < 0
   0, & t < 0
\\  
\\
   1, & t \ge 0
   1, & t \ge 0
\end{matrix}\right.
\end{matrix}\right.
</math>
</math>


:The unit step function is a highly important function, not only in control systems engineering, but also in signal processing, systems analysis, and all branches of engineering. If the unit step function is input to a system, the output of the system is known as the '''step response'''. The step response of a system is an important tool, and we will study step responses in detail in later chapters.
:单元步进功能是非常重要的功能，不仅在控制系统工程中，而且在信号处理，系统分析和工程的所有分支中。 如果单位阶跃函数被输入到系统中，系统的输出称为“阶跃响应”。 系统的阶跃响应是一个重要的工具，我们将在后面的章节中详细研究阶跃响应。


[[Image:Unit Step.svg|400px|center]]}}
[[Image:Unit Step.svg|400px|center]]}}


{{TextBox|1=
{{TextBox|1=
;Ramp: A unit ramp is defined in terms of the unit step function, as such:
;斜坡: 根据单位阶跃函数定义单位斜坡，例如:


{{eqn|Unit Ramp Function}}
{{eqn|Unit Ramp Function}}
::<math>r(t) = t u(t)</math>
::<math>r(t) = t u(t)</math>


:It is important to note that the unit step function is simply the differential of the unit ramp function:
:需要注意的是，单位阶跃函数只是单位斜率函数的微分：


::<math>r(t) = \int u(t)dt = tu(t)</math>
::<math>r(t) = \int u(t)dt = tu(t)</math>


:This definition will come in handy when we learn about the '''Laplace Transform'''.
这个定义在我们了解'''拉普拉斯变换'''的时候会派上用场。


[[Image:Unit Ramp.svg|400px|center]]}}
[[Image:Unit Ramp.svg|400px|center]]}}


{{TextBox|1=
{{TextBox|1=
;Parabolic: A unit parabolic input is similar to a ramp input:
;抛物线: 单位抛物线输入类似于斜坡输入:


{{eqn|Unit Parabolic Function}}
{{eqn|Unit Parabolic Function}}
::<math>p(t) = \frac{1}{2}t^2 u(t)</math>
::<math>p(t) = \frac{1}{2}t^2 u(t)</math>


:Notice also that the unit parabolic input is equal to the integral of the ramp function:
:还要注意，单位抛物线输入等于斜坡函数的积分：


::<math>p(t) = \int r(t)dt = \int t u(t)dt = \frac{1}{2}t^2u(t) = \frac{1}{2}t r(t)</math>
::<math>p(t) = \int r(t)dt = \int t u(t)dt = \frac{1}{2}t^2u(t) = \frac{1}{2}t r(t)</math>


:Again, this result will become important when we learn about the Laplace Transform.
:同样，当我们了解拉普拉斯变换时，这个结果将变得重要。


[[Image:Unit Parabola.svg|400px|center]]}}
[[Image:Unit Parabola.svg|400px|center]]}}


Also, sinusoidal and exponential functions are considered basic, but they are too difficult to use in initial analysis of a system.
同样，正弦函数和指数函数被认为是基本函数，但是它们很难在系统的初始分析中使用。


== Steady State ==
== Steady State ==


{{SideBox|'''Note''':<br>To be more precise, we should have taken the limit as ''t'' approaches infinity. However, as a shorthand notation, we will typically say "''t'' equals infinity", and assume the reader understands the shortcut that is being used.}}
{{SideBox|'''Note''':<br>更准确地说，当“t”接近无穷大时，我们应该取极限。 但是，作为一种速记符号，我们通常会说“''t''等于无穷大”，并假定读者理解正在使用的快捷方式。}}


When a unit-step function is input to a system, the '''steady-state''' value of that system is the output value at time <math>t = \infty</math>. Since it is impractical (if not completely impossible) to wait till infinity to observe the system, approximations and mathematical calculations are used to determine the steady-state value of the system. Most system responses are '''asymptotic''', that is that the response approaches a particular value. Systems that are asymptotic are typically obvious from viewing the graph of that response.
当将单位步长函数输入到系统时，该系统的 “稳态” 值是时间 <math>t = \ infty</math> 处的输出值。 由于等到无穷远时才观察系统是不切实际的（如果不是完全不可能的话），因此使用近似和数学计算来确定系统的稳态值。 大多数系统响应都是“渐近”的，即响应接近某个特定值。 从查看该响应的图来看，渐近的系统通常是显而易见的。


=== Step Response ===
===阶跃响应===


The step response of a system is most frequently used to analyze systems, and there is a large amount of terminology involved with step responses. When exposed to the step input, the system will initially have an undesirable output period known as the '''transient response'''. The transient response occurs because a system is approaching its final output value. The steady-state response of the system is the response after the transient response has ended.
系统的阶跃响应是用来分析系统的最常用的方法，涉及到大量的术语。 当暴露于阶跃输入时，系统最初将具有不期望的输出周期，称为 “瞬态响应”。 瞬态响应发生是因为系统接近其最终输出值。 系统的稳态响应是在暂态响应结束后的响应。


The amount of time it takes for the system output to reach the desired value (before the transient response has ended, typically) is known as the '''rise time'''. The amount of time it takes for the transient response to end and the steady-state response to begin is known as the '''settling time'''.
系统输出达到所需值所需的时间 (通常在瞬态响应结束之前) 称为 “上升时间”。 瞬态响应结束和稳态响应开始所需的时间称为“稳定时间”。


It is common for a systems engineer to try and improve the step response of a system. In general, it is desired for the transient response to be reduced, the rise and settling times to be shorter, and the steady-state to approach a particular desired "reference" output.
对于系统工程师来说，尝试改善系统的阶跃响应是很常见的。 通常，希望减小瞬态响应，缩短上升和稳定时间，并使稳态接近特定期望的 “参考” 输出。


{| class="wikitable"
{| class="wikitable"
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|[[Image:Step Response.svg|400px|center]]
|[[Image:Step Response.svg|400px|center]]
|-
|-
!<center>An arbitrary step function with <math>x(t) = Mu(t)</math></center>
!<center>任意阶跃函数 <math>x(t) = Mu(t)</math></center>
!<center>A step response graph of input ''x(t)'' to a made-up system</center>
!<center>输入''x(t)''对组合系统的阶跃响应图</center>
|}
|}
{{-}}
{{-}}


== Target Value ==
== 目标值 ==


The target output value is the value that our system attempts to obtain for a given input. This is not the same as the steady-state value, which is the actual value that the system does obtain. The target value is frequently referred to as the '''reference value''', or the "reference function" of the system. In essence, this is the value that we want the system to produce. When we input a "5" into an elevator, we want the output (the final position of the elevator) to be the fifth floor. Pressing the "5" button is the reference input, and is the expected value that we want to obtain. If we press the "5" button, and the elevator goes to the third floor, then our elevator is poorly designed.
目标输出值是系统试图为给定输入获取的值。 这与稳态值不同，稳态值是系统获得的实际值。 目标值通常被称为'''参考值'''或系统的 “参考函数”。 本质上，这就是我们希望系统产生的价值。 当我们在电梯中输入“5”时，我们希望输出(电梯的最终位置)是第五层。 按下 “5” 按钮是参考输入，并且是我们要获得的期望值。 如果我们按“5”键，电梯就到了三楼，那么我们的电梯设计得很糟糕。


== Rise Time ==
==上升时间==


'''Rise time''' is the amount of time that it takes for the system response to reach the target value from an initial state of zero. Many texts on the subject define the rise time as being the time it takes to rise between the initial position and 80% of the target value. This is because some systems never rise to 100% of the expected, target value, and therefore they would have an infinite rise-time. This book will specify which convention to use for each individual problem. Rise time is typically denoted ''t<sub>r</sub>'', or ''t<sub>rise</sub>''.
'''上升时间''' 是系统响应从零的初始状态达到目标值所花费的时间。 许多关于该主题的文本将上升时间定义为从初始位置上升到目标值80%所需的时间。 这是因为有些系统永远不会上升到预期目标值的100%，因此它们将有无限的上升时间。 本书将指定对每个单独的问题使用哪种约定。 上升时间通常表示为 ''t<sub>r</sub>''或''t<sub>rise</sub>''。”。


{{info|Rise time is not the amount of time it takes to achieve steady-state, only the amount of time it takes to reach the desired target value for the first time.}}
{{info|上升时间不是达到稳定状态所需的时间量，而是首次达到所需目标值所需的时间量。}}


== Percent Overshoot ==
== 超调百分比 ==


Underdamped systems frequently overshoot their target value initially. This initial surge is known as the "overshoot value". The ratio of the amount of overshoot to the target steady-state value of the system is known as the '''percent overshoot'''. Percent overshoot represents an overcompensation of the system, and can output dangerously large output signals that can damage a system. Percent overshoot is typically denoted with the term ''PO''.
欠阻尼系统最初经常超过其目标值。 这种最初的激增被称为“超调值”。 超调量与系统的目标稳态值之比称为 '''百分比超调'''”。 超调百分比代表了系统的过度补偿，可能会输出危险的大输出信号，从而损坏系统。 百分比超调通常用术语''PO''表示。


{{TextBox|1='''Example: Refrigerator'''
{{TextBox|1='''示例：冰箱'''


Consider an ordinary household refrigerator. The refrigerator has cycles where it is on and when it is off. When the refrigerator is on, the coolant pump is running, and the temperature inside the refrigerator decreases. The temperature decreases to a much lower level than is required, and then the pump turns off.
以一台普通的家用冰箱为例。 冰箱在打开和关闭时都有循环。 当冰箱打开时，冷却液泵运行，冰箱内的温度降低。 温度降到比所需温度低得多的水平，然后泵关闭。


When the pump is off, the temperature slowly increases again as heat is absorbed into the refrigerator. When the temperature gets high enough, the pump turns back on. Because the pump cools down the refrigerator more than it needs to initially, we can say that it "overshoots" the target value by a certain specified amount.}}
当泵关闭时，随着热量被吸收到冰箱中，温度再次缓慢升高。 当温度足够高时，泵就会重新启动。 因为泵冷却冰箱的时间比最初需要的要多，所以我们可以说它超出了目标值一定的指定量。}}


{{TextBox|1='''Example: Refrigerator'''
{{TextBox|1='''示例: 冰箱'''


Another example concerning a refrigerator concerns the electrical demand of the heat pump when it first turns on. The pump is an inductive mechanical motor, and when the motor first activates, a special counter-acting force known as "back EMF" resists the motion of the motor, and causes the pump to draw more electricity until the motor reaches its final speed. During the startup time for the pump, lights on the same electrical circuit as the refrigerator may dim slightly, as electricity is drawn away from the lamps, and into the pump. This initial draw of electricity is a good example of overshoot.}}
另一个关于冰箱的例子涉及热泵首次开启时的电力需求。 泵是一种感应机械马达，当马达第一次启动时，一种特殊的反作用力--反电动势--会抵抗马达的运动，并使泵吸收更多的电力，直到马达达到其最终速度。 在泵的启动时间内，与冰箱相同的电路上的灯可能会稍微变暗，因为电从灯中抽出并进入泵中。 这种最初的电力消耗是超调的一个很好的例子}}


== Steady-State Error ==
==稳态误差==
{{SideBox|Usually, the letter ''e'' or ''E'' will be used to denote error values.}}
{{SideBox|通常，字母''e''或 ''e'' 将用于表示错误值。}}
Sometimes a system might never achieve the desired steady-state value, but instead will settle on an output value that is not desired. The difference between the steady-state output value to the reference input value at steady state is called the '''steady-state error''' of the system. We will use the variable ''e<sub>ss</sub>'' to denote the steady-state error of the system.
有时，一个系统可能永远无法达到所需的稳态值，而是会确定一个不需要的输出值。 稳态输出值与稳态参考输入值之间的差值称为系统的'''稳态误差'''。 我们将使用变量  ''e<sub>ss</sub>'' 来表示系统的稳态误差。


== Settling Time ==
==稳定时间==


After the initial rise time of the system, some systems will oscillate and vibrate for an amount of time before the system output settles on the final value. The amount of time it takes to reach steady state after the initial rise time is known as the '''settling time'''. Notice that damped oscillating systems may never settle completely, so we will define settling time as being the amount of time for the system to reach, and stay in, a certain acceptable range. The acceptable range for settling time is typically determined on a per-problem basis, although common values are 20%, 10%, or 5% of the target value. The settling time will be denoted as ''t<sub>s</sub>''.
在系统的初始上升时间之后，一些系统将振荡并振动一段时间，然后系统输出确定为最终值。 在初始上升时间之后达到稳定状态所需的时间称为'''稳定时间'''。 请注意，阻尼振荡系统可能永远不会完全沉降，因此我们将沉降时间定义为系统达到并保持在某个可接受范围内的时间量。 稳定时间的可接受范围通常是根据每个问题确定的，尽管常见的值是目标值的20%、10%或5%。 建立时间将表示为''t<sub>s</sub>''。


== System Order ==
==系统顺序==


The '''order''' of the system is defined by the number of independent energy storage elements in the system, and intuitively by the highest order of the linear differential equation that describes the system. In a transfer function representation, the order is the highest exponent in the transfer function. In a '''proper system''', the system order is defined as the degree of the denominator polynomial. In a state-space equation, the system order is the number of state-variables used in the system. The order of a system will frequently be denoted with an ''n'' or ''N'', although these variables are also used for other purposes. This book will make clear distinction on the use of these variables.
系统的'''阶'''由系统中独立的储能元件的数目定义，并且直观地由描述系统的线性微分方程式的最高阶定义。 在传递函数表示中，阶数是传递函数中的最高指数。 在'''适当系统'''中，系统阶数定义为分母多项式的阶数。 在状态空间方程中，系统阶数是系统中使用的状态变量的数量。 系统的顺序通常用 ''n'' 或 ''N'' 表示，尽管这些变量也用于其他目的。 这本书将明确区分这些变量的使用。


=== Proper Systems ===
===适当的系统===


A '''proper system''' is a system where the degree of the denominator is larger than or equal to the degree of the numerator polynomial. A '''strictly proper system''' is a system where the degree of the denominator polynomial is larger than (but never equal to) the degree of the numerator polynomial. A '''biproper system''' is a system where the degree of the denominator polynomial equals the degree of the numerator polynomial.
'''适当系统''' 是分母的度数大于或等于分子多项式的度数的系统。 '''严格适当系统'''是分母多项式的阶数大于（但不等于）分子多项式的阶数的系统。 '''双真系'''是分母多项式的次数等于分子多项式的次数的系统。


It is important to note that only proper systems can be physically realized. In other words, a system that is not proper cannot be built. It makes no sense to spend a lot of time designing and analyzing imaginary systems.
重要的是要注意，只有适当的系统才能在物理上实现。 换句话说，一个不恰当的系统是无法建立的。 花费大量时间设计和分析想象中的系统是没有意义的。


=== Example: System Order ===
=== 示例: 系统顺序 ===


{{TextBox|1=Find the order of this system:
{{TextBox|1=查找此系统的顺序：


:<math>G(s) = \frac{1 + s}{1 + s + s^2}</math>
:<math>G(s) = \frac{1 + s}{1 + s + s^2}</math>


The highest exponent in the denominator is s<sup>2</sup>, so the system is order 2. Also, since the denominator is a higher degree than the numerator, this system is strictly proper.}}
分母中的最高指数是s<sup>2</sup>，所以系统是2阶的。 另外，由于分母比分子高，因此该系统严格正确。}}


In the above example, G(s) is a second-order transfer function because in the denominator one of the s variables has an exponent of 2. Second-order functions are the easiest to work with.
在上例中，G（s）是二阶传递函数，因为在分母中，s变量之一的指数为2。 二阶函数是最容易使用的。


== System Type ==
== 系统类型 ==


Let's say that we have a process transfer function (or combination of functions, such as a controller feeding in to a process), all in the forward branch of a unity feedback loop. Say that the overall forward branch transfer function is in the following generalized form (known as '''pole-zero form'''):
假设我们有一个过程传递函数（或函数的组合，比如一个控制器反馈到一个过程中），所有这些函数都在单位反馈回路的前向分支中。 假设整个前向支路传递函数具有下面的一般形式(称为'''极点-零点形式''')：


{{eqn|Pole-Zero Form}}
{{eqn|Pole-Zero Form}}
:<math>G(s) = \frac {K \prod_i (s - s_i)}{s^M \prod_j (s - s_j)}</math>
:<math>G(s) = \frac {K \prod_i (s - s_i)}{s^M \prod_j (s - s_j)}</math>
{{SideBox|Poles at the origin are called '''integrators''', because they have the effect of performing integration on the input signal.}}
{{SideBox|原点的极点被称为 '''积分器'''，因为它们具有对输入信号进行积分的效果。}}
we call the parameter ''M'' the '''system type'''. Note that increased system type number correspond to larger numbers of poles at s = 0. More poles at the origin generally have a beneficial effect on the system, but they increase the order of the system, and make it increasingly difficult to implement physically. System type will generally be denoted with a letter like ''N'', ''M'', or ''m''. Because these variables are typically reused for other purposes, this book will make clear distinction when they are employed.
我们称参数'''M'''为'''系统类型'''。 请注意，增加的系统类型数对应于s = 0处的更多极数。 原点的更多极点通常会对系统产生有益的影响，但是它们会增加系统的顺序，并使物理实现变得越来越困难。 系统类型通常用''N''、''M''或''m''等字母表示。 由于这些变量通常被重复用于其他目的，本书将在使用它们时做出明确的区分。


Now, we will define a few terms that are commonly used when discussing system type. These new terms are '''Position Error''', '''Velocity Error''', and ''' Acceleration Error'''. These names are throwbacks to physics terms where acceleration is the derivative of velocity, and velocity is the derivative of position. Note that none of these terms are meant to deal with movement, however.
现在，我们将定义几个在讨论系统类型时常用的术语。 这些新术语是'''位置误差'''、'''速度误差'''和'''加速度误差'''。 这些名称是回到物理学术语，其中加速度是速度的导数，而速度是位置的导数。 请注意，这些术语都不是用来处理移动的。


;Position Error:The position error, denoted by the '''position error constant''' ''<math>K_p</math>''. This is the amount of steady-state error of the system when stimulated by a unit step input. We define the position error constant as follows:
;位置误差：位置误差，由'''位置误差常数'''表示 ''<math>K_p</math>''. 这是受单位阶跃输入激励时系统的稳态误差量。 我们定义位置误差常数如下:
{{eqn|Position Error Constant}}
{{eqn|Position Error Constant}}
::<math>K_p = \lim_{s \to 0} G(s)</math>
::<math>K_p = \lim_{s \to 0} G(s)</math>


:Where G(s) is the transfer function of our system.
:其中G（s）是系统的传递函数。


;Velocity Error:The velocity error is the amount of steady-state error when the system is stimulated with a ramp input. We define the '''velocity error constant''' as such:
;速度误差:速度误差是系统受到斜坡输入激励时的稳态误差量。 我们将'''速度误差常数'''定义为:
{{eqn|Velocity Error Constant}}
{{eqn|Velocity Error Constant}}
::<math>K_v = \lim_{s \to 0} s G(s)</math>
::<math>K_v = \lim_{s \to 0} s G(s)</math>


;Acceleration Error:The acceleration error is the amount of steady-state error when the system is stimulated with a parabolic input. We define the '''acceleration error constant''' to be:
;加速度误差:加速度误差是用抛物线输入刺激系统时的稳态误差量。 我们将'''加速度误差常数'''定义为：
{{eqn|Acceleration Error Constant}}
{{eqn|Acceleration Error Constant}}
::<math>K_a = \lim_{s \to 0} s^2 G(s)</math>
::<math>K_a = \lim_{s \to 0} s^2 G(s)</math>


Now, this table will show briefly the relationship between the system type, the kind of input (step, ramp, parabolic), and the steady-state error of the system:
现在，该表将简要显示系统类型，输入类型 (阶跃，斜坡，抛物线) 和系统稳态误差之间的关系:


:{| class="wikitable"
:{| class="wikitable"
!  
!
! colspan=3 | Unit System Input
! colspan=3 | Unit System Input
|-
|-
第177行： 第177行：
|}
|}


=== Z-Domain Type ===
=== Z域类型 ===


Likewise, we can show that the system order can be found from the following generalized transfer function in the ''Z'' domain:
同样地，我们可以从''Z''域中的下列广义传递函数中找到系统阶数：


:<math>G(z) = \frac {K \prod_i (z - z_i)}{(z - 1)^M \prod_j (z - z_j)}</math>
:<math>G(z) = \frac {K \prod_i (z - z_i)}{(z - 1)^M \prod_j (z - z_j)}</math>


Where the constant ''M'' is the '''type''' of the digital system. Now, we will show how to find the various error constants in the Z-Domain:
其中常数''m''是数字系统的''类型''。 现在，我们将展示如何在Z域中找到各种错误常数：


{{eqn|Z-Domain Error Constants}}
{{eqn|Z-Domain Error Constants}}
:{| class="wikitable"
:{| class="wikitable"
! Error Constant !! Equation
! 错误常量 !! 方程式
|-
|-
| Kp || <math>K_p = \lim_{z \to 1} G(z)</math>
| Kp || <math>K_p = \lim_{z \to 1} G(z)</math>
第196行： 第196行：
|}
|}


== Visually ==
== 视觉展示 ==


Here is an image of the various system metrics, acting on a system in response to a step input:
以下是各种系统指标的图像，它们作用于一个系统以响应一个步骤输入：


[[Image:System Metrics Diagram.svg|500px|center]]
[[Image:System Metrics Diagram.svg|500px|center]]


The target value is the value of the input step response. The rise time is the time at which the waveform first reaches the target value. The overshoot is the amount by which the waveform exceeds the target value. The settling time is the time it takes for the system to settle into a particular bounded region. This bounded region is denoted with two short dotted lines above and below the target value.
目标值是输入阶跃响应的值。 上升时间是波形首次达到目标值的时间。 超调量是波形超过目标值的量。 建立时间是系统稳定到特定有界区域所需的时间。 该有界区域用目标值上方和下方的两条短虚线表示。


{{Control Systems/Nav|Digital and Analog|System Modeling}}
{{Control Systems/Nav|Digital and Analog|System Modeling}}

2022年5月12日 (四) 23:16的最新版本

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系统指标

在设计和分析系统时，使用各种奇怪的输入函数来测试系统，或者测量各种任意的性能指标，都没有任何意义。 相反，使用一组标准的简单参考功能测试系统符合每个人的最大利益。 一旦使用参考功能对系统进行了测试，我们就可以使用许多不同的指标来确定系统性能。

值得注意的是，本章中提供的指标仅代表可用于评估给定系统的一小部分可能的指标。 随着它们的需求变得明显，这本维基教科书将在此过程中展示其他有用的指标。

标准输入

注意‘：
所有标准输入在时间零之前为零。 所有的标准输入都是因果的。

有许多标准输入被认为足够简单和通用，因此可以在设计系统时加以考虑。 这些输入被称为单位步骤，ramp和抛物线输入。

单位步长： 单位步长函数的定义是分段的：


[Unit Step Function]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle u(t) = \left\{ \begin{matrix} 0, & t < 0 \\ 1, & t \ge 0 \end{matrix}\right. }
单元步进功能是非常重要的功能，不仅在控制系统工程中，而且在信号处理，系统分析和工程的所有分支中。 如果单位阶跃函数被输入到系统中，系统的输出称为“阶跃响应”。 系统的阶跃响应是一个重要的工具，我们将在后面的章节中详细研究阶跃响应。
文件:Unit Step.svg
斜坡
根据单位阶跃函数定义单位斜坡，例如:


[Unit Ramp Function]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle r(t) = t u(t)}
需要注意的是，单位阶跃函数只是单位斜率函数的微分：
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle r(t) = \int u(t)dt = tu(t)}

这个定义在我们了解拉普拉斯变换的时候会派上用场。

文件:Unit Ramp.svg
抛物线
单位抛物线输入类似于斜坡输入:


[Unit Parabolic Function]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p(t) = \frac{1}{2}t^2 u(t)}
还要注意，单位抛物线输入等于斜坡函数的积分：
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle p(t) = \int r(t)dt = \int t u(t)dt = \frac{1}{2}t^2u(t) = \frac{1}{2}t r(t)}
同样，当我们了解拉普拉斯变换时，这个结果将变得重要。
文件:Unit Parabola.svg

同样，正弦函数和指数函数被认为是基本函数，但是它们很难在系统的初始分析中使用。

Steady State

Note:
更准确地说，当“t”接近无穷大时，我们应该取极限。 但是，作为一种速记符号，我们通常会说“t等于无穷大”，并假定读者理解正在使用的快捷方式。

当将单位步长函数输入到系统时，该系统的 “稳态” 值是时间 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle t = \ infty} 处的输出值。 由于等到无穷远时才观察系统是不切实际的（如果不是完全不可能的话），因此使用近似和数学计算来确定系统的稳态值。 大多数系统响应都是“渐近”的，即响应接近某个特定值。 从查看该响应的图来看，渐近的系统通常是显而易见的。

阶跃响应

系统的阶跃响应是用来分析系统的最常用的方法，涉及到大量的术语。 当暴露于阶跃输入时，系统最初将具有不期望的输出周期，称为 “瞬态响应”。 瞬态响应发生是因为系统接近其最终输出值。 系统的稳态响应是在暂态响应结束后的响应。

系统输出达到所需值所需的时间 (通常在瞬态响应结束之前) 称为 “上升时间”。 瞬态响应结束和稳态响应开始所需的时间称为“稳定时间”。

对于系统工程师来说，尝试改善系统的阶跃响应是很常见的。 通常，希望减小瞬态响应，缩短上升和稳定时间，并使稳态接近特定期望的 “参考” 输出。

文件:Step Function.svg
文件:Step Response.svg
任意阶跃函数 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle x(t) = Mu(t)}
输入x(t)对组合系统的阶跃响应图

模板:-

目标值

目标输出值是系统试图为给定输入获取的值。 这与稳态值不同，稳态值是系统获得的实际值。 目标值通常被称为参考值或系统的 “参考函数”。 本质上，这就是我们希望系统产生的价值。 当我们在电梯中输入“5”时，我们希望输出(电梯的最终位置)是第五层。 按下 “5” 按钮是参考输入，并且是我们要获得的期望值。 如果我们按“5”键，电梯就到了三楼，那么我们的电梯设计得很糟糕。

上升时间

上升时间 是系统响应从零的初始状态达到目标值所花费的时间。 许多关于该主题的文本将上升时间定义为从初始位置上升到目标值80%所需的时间。 这是因为有些系统永远不会上升到预期目标值的100%，因此它们将有无限的上升时间。 本书将指定对每个单独的问题使用哪种约定。 上升时间通常表示为 tr或trise。”。

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超调百分比

欠阻尼系统最初经常超过其目标值。 这种最初的激增被称为“超调值”。 超调量与系统的目标稳态值之比称为 百分比超调”。 超调百分比代表了系统的过度补偿，可能会输出危险的大输出信号，从而损坏系统。 百分比超调通常用术语PO表示。

示例：冰箱

以一台普通的家用冰箱为例。 冰箱在打开和关闭时都有循环。 当冰箱打开时，冷却液泵运行，冰箱内的温度降低。 温度降到比所需温度低得多的水平，然后泵关闭。

当泵关闭时，随着热量被吸收到冰箱中，温度再次缓慢升高。 当温度足够高时，泵就会重新启动。 因为泵冷却冰箱的时间比最初需要的要多，所以我们可以说它超出了目标值一定的指定量。

示例: 冰箱

另一个关于冰箱的例子涉及热泵首次开启时的电力需求。 泵是一种感应机械马达，当马达第一次启动时，一种特殊的反作用力--反电动势--会抵抗马达的运动，并使泵吸收更多的电力，直到马达达到其最终速度。 在泵的启动时间内，与冰箱相同的电路上的灯可能会稍微变暗，因为电从灯中抽出并进入泵中。 这种最初的电力消耗是超调的一个很好的例子

稳态误差

通常，字母e或 e 将用于表示错误值。

有时，一个系统可能永远无法达到所需的稳态值，而是会确定一个不需要的输出值。 稳态输出值与稳态参考输入值之间的差值称为系统的稳态误差。 我们将使用变量 ess 来表示系统的稳态误差。

稳定时间

在系统的初始上升时间之后，一些系统将振荡并振动一段时间，然后系统输出确定为最终值。 在初始上升时间之后达到稳定状态所需的时间称为稳定时间。 请注意，阻尼振荡系统可能永远不会完全沉降，因此我们将沉降时间定义为系统达到并保持在某个可接受范围内的时间量。 稳定时间的可接受范围通常是根据每个问题确定的，尽管常见的值是目标值的20%、10%或5%。 建立时间将表示为ts。

系统顺序

系统的阶由系统中独立的储能元件的数目定义，并且直观地由描述系统的线性微分方程式的最高阶定义。 在传递函数表示中，阶数是传递函数中的最高指数。 在适当系统中，系统阶数定义为分母多项式的阶数。 在状态空间方程中，系统阶数是系统中使用的状态变量的数量。 系统的顺序通常用 n 或 N 表示，尽管这些变量也用于其他目的。 这本书将明确区分这些变量的使用。

适当的系统

适当系统 是分母的度数大于或等于分子多项式的度数的系统。 严格适当系统是分母多项式的阶数大于（但不等于）分子多项式的阶数的系统。 双真系是分母多项式的次数等于分子多项式的次数的系统。

重要的是要注意，只有适当的系统才能在物理上实现。 换句话说，一个不恰当的系统是无法建立的。 花费大量时间设计和分析想象中的系统是没有意义的。

示例: 系统顺序

查找此系统的顺序：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G(s) = \frac{1 + s}{1 + s + s^2}}

分母中的最高指数是s2，所以系统是2阶的。 另外，由于分母比分子高，因此该系统严格正确。

在上例中，G（s）是二阶传递函数，因为在分母中，s变量之一的指数为2。 二阶函数是最容易使用的。

系统类型

假设我们有一个过程传递函数（或函数的组合，比如一个控制器反馈到一个过程中），所有这些函数都在单位反馈回路的前向分支中。 假设整个前向支路传递函数具有下面的一般形式(称为极点-零点形式)：


[Pole-Zero Form]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G(s) = \frac {K \prod_i (s - s_i)}{s^M \prod_j (s - s_j)}}
原点的极点被称为 积分器，因为它们具有对输入信号进行积分的效果。

我们称参数M为系统类型。 请注意，增加的系统类型数对应于s = 0处的更多极数。 原点的更多极点通常会对系统产生有益的影响，但是它们会增加系统的顺序，并使物理实现变得越来越困难。 系统类型通常用N、M或m等字母表示。 由于这些变量通常被重复用于其他目的，本书将在使用它们时做出明确的区分。

现在，我们将定义几个在讨论系统类型时常用的术语。 这些新术语是位置误差、速度误差和加速度误差。 这些名称是回到物理学术语，其中加速度是速度的导数，而速度是位置的导数。 请注意，这些术语都不是用来处理移动的。

位置误差：位置误差，由位置误差常数表示 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_p} . 这是受单位阶跃输入激励时系统的稳态误差量。 我们定义位置误差常数如下


[Position Error Constant]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_p = \lim_{s \to 0} G(s)}
其中G（s）是系统的传递函数。
速度误差
速度误差是系统受到斜坡输入激励时的稳态误差量。 我们将速度误差常数定义为:


[Velocity Error Constant]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_v = \lim_{s \to 0} s G(s)}
加速度误差
加速度误差是用抛物线输入刺激系统时的稳态误差量。 我们将加速度误差常数定义为：


[Acceleration Error Constant]

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_a = \lim_{s \to 0} s^2 G(s)}

现在，该表将简要显示系统类型，输入类型 (阶跃，斜坡，抛物线) 和系统稳态误差之间的关系:

Unit System Input
Type, M Au(t) Ar(t) Ap(t)
0 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \frac{A}{1 + K_p}} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \infty} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \infty}
1 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \frac{A}{K_v}} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \infty}
2 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = \frac{A}{K_a}}
> 2 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0} 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle e_{ss} = 0}

Z域类型

同样地，我们可以从Z域中的下列广义传递函数中找到系统阶数：

解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle G(z) = \frac {K \prod_i (z - z_i)}{(z - 1)^M \prod_j (z - z_j)}}

其中常数m是数字系统的类型。 现在，我们将展示如何在Z域中找到各种错误常数：


[Z-Domain Error Constants]

错误常量 方程式
Kp 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_p = \lim_{z \to 1} G(z)}
Kv 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_v = \lim_{z \to 1} (z - 1) G(z)}
Ka 解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML（建议用于现代的浏览器和辅助工具）：从服务器“https://wikimedia.org/api/rest_v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle K_a = \lim_{z \to 1} (z - 1)^2 G(z)}

视觉展示

以下是各种系统指标的图像，它们作用于一个系统以响应一个步骤输入：

文件:System Metrics Diagram.svg

目标值是输入阶跃响应的值。 上升时间是波形首次达到目标值的时间。 超调量是波形超过目标值的量。 建立时间是系统稳定到特定有界区域所需的时间。 该有界区域用目标值上方和下方的两条短虚线表示。

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